Chủ đề này có 4 trả lời

[NMDuc98]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$.Chứng minh rằng:$\sum \frac{x^3}{x^4+x^2+1}\leq 1$

[megamewtwo]

ta có :$\sum \frac{2x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1}\leq \sum \frac{x^{4}+x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$

Xét $6-\sum \frac{2x^{4}+2x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}= 2\sum \frac{1}{x^{4}+x^{2}+1}>= 2$ (BDT này bạn tự CM nha)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 21-05-2014 - 18:39

[lahantaithe99]

ta có :$\sum \frac{2x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1}\leq \sum \frac{x^{4}+x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$

Xét $6-\sum \frac{2x^{4}+2x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}= 2\sum \frac{1}{x^{4}+x^{2}+1}\leq 2$ (BDT này bạn tự CM nha)

CM thế này thì ngược dấu rồi còn gì bạn?

[megamewtwo]

CM thế này thì ngược dấu rồi còn gì bạn?

à nhầm nó lớn hơn 2

hihihihi vội quá nên nhầm

[phamquanglam]

Ta có: $x^{4}+x^{2}\geq 2\sqrt{x^{6}}= 2x^{3}$

Nên: $\frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1}\leq \frac{x^{3}}{2x^{3}+1}$

Làm tương tự cho 2 số còn lại.

Cộng các vế vào với nhau:

$\sum \frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1}\leq \sum \frac{x^{3}}{2x^{3}+1}=A$

Xét: $3-2A=\sum \frac{1}{2x^{3}+1}$

Đặt $x^{3}=\frac{a}{b}; y^{3}=\frac{b}{c}; z^{3}=\frac{c}{a}$

Vậy: $3-2A=\sum \frac{1}{2\frac{a}{b}+1}=\sum \frac{b}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1$

$\Rightarrow A\leq 1\Rightarrow \sum \frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}+1}\leq A\leq 1$

Đã chứng minh xong!!!!!11