Chủ đề này có 5 trả lời

[VTK]

Cho biết phương trình $$x^2 + ax + b = 0$$ có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh phương trình $$x^4 + ax^3 + (b-2)x^2 - ax + 1 = 0$$ cũng có 4 nghiệm phân biệt. ( Cả 2 là phương trình ẩn x ).

[BysLyl]

Cho biết phương trình $$x^2 + ax + b = 0$$ có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh phương trình $$x^4 + ax^3 + (b-2)x^2 - ax + 1 = 0$$ cũng có 4 nghiệm phân biệt. ( Cả 2 là phương trình ẩn x ).

$x^{2}-ax+b=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow \Delta =a^{2}-4b\geq 0$   (*)

x=0 ko là nghiệm của pt (2)

$\Rightarrow x^{2}+ax+b-2-\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{x})^{2}+a(x-\frac{1}{x})+b=0$

Đặt $x-\frac{1}{x}=y\Rightarrow y^{2}+ay+b=0$  (3)

Kết hợp với (*) => pt (3) có 2 nghiệm phân biệt => pt (2) có 4 nghiệm phân biệt

[VTK]

$x^{2}-ax+b=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow \Delta =a^{2}-4b\geq 0$   (*)

x=0 ko là nghiệm của pt (2)

$\Rightarrow x^{2}+ax+b-2-\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{x})^{2}+a(x-\frac{1}{x})+b=0$

Đặt $x-\frac{1}{x}=y\Rightarrow y^{2}+ay+b=0$  (3)

Kết hợp với (*) => pt (3) có 2 nghiệm phân biệt => pt (2) có 4 nghiệm phân biệt

Làm vội vã quá. Chắc gì (3) có 2 nghiệm pb thì (2) có 4 nghiệm pb? Lỡ thay giá trị y vào phép đặt ko tìm được x thì sao? 

[Ngoc Hung]

Phương trình $x-\frac{1}{x}=b$ luôn có 2 nghiệm với mọi b

[BysLyl]

Làm vội vã quá. Chắc gì (3) có 2 nghiệm pb thì (2) có 4 nghiệm pb? Lỡ thay giá trị y vào phép đặt ko tìm được x thì sao? 

Thay vào thì luôn có nghiệm mà 

Giả sử nghiệm là $y_{1}\Rightarrow x^{2}-xy_{1}-1=0\Rightarrow \Delta =y_{1}^{2}+4> 0$

[VTK]

Thay vào thì luôn có nghiệm mà 

Giả sử nghiệm là $y_{1}\Rightarrow x^{2}-xy_{1}-1=0\Rightarrow \Delta =y_{1}^{2}+4> 0$

Hì. Thay nghiệm y1, y2 vào rồi còn phải chứng minh không có nghiệm chung nữa bằng cách gọi nghiệm chung là x0, chứng minh không xảy ra