Chủ đề này có 3 trả lời

[highstep]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1
Tính GTNN của P =$\frac{1}{(x+1)^{2}}+ \frac{1}{(y+1)^{2}} +\frac{4}{3(z+1)^{3}}$

[25 minutes]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1
Tính GTNN của P =$\frac{1}{(x+1)^{2}}+ \frac{1}{(y+1)^{2}} +\frac{4}{3(z+1)^{3}}$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau : 

                         $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{2}{1+xy}$

Do đó $P\geqslant \frac{1}{1+xy}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{z^3+2z^2+z+\frac{4}{3}}{(z+1)^3}$

Và ta có $\frac{z^3+2z^2+z+\frac{4}{3}}{(z+1)^3}\geqslant \frac{2}{3}\Leftrightarrow z^3-3z+2\geqslant 0\Leftrightarrow (z+1)(z-1)^2\geqslant 0$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

[tuananh2000]

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau : 

                         $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{2}{1+xy}$

Do đó $P\geqslant \frac{1}{1+xy}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{z^3+2z^2+z+\frac{4}{3}}{(z+1)^3}$

Và ta có $\frac{z^3+2z^2+z+\frac{4}{3}}{(z+1)^3}\geqslant \frac{2}{3}\Leftrightarrow z^3-3z+2\geqslant 0\Leftrightarrow (z+1)(z-1)^2\geqslant 0$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

???

[25 minutes]

???

Tức là sao ?