Chủ đề này có 4 trả lời

[Super Fields]

Tìm $Min$ của $x^3+y^3+z^3$ biết: $x;y;z>0$ và $x^2+y^2+z^2=27$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-05-2014 - 23:15

[nguyenhongsonk612]

Tìm $Min$ của $A=x^3+y^3+z^3$ biết: $x;y;z>0$ và $x^2+y^z^2=27$

Giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

$27^2=(x^2+y^2+z^2)^2\leq (x+y+z)(x^3+y^3+z^3)$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq \frac{27^2}{x+y+z}$

Lại có: $x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}= \sqrt{3.27}= 9$

$x^3+y^3+z^3\geq \frac{27^2}{9}=81$
Vậy Min $A=81$. Dấu "=" khi vả chỉ khi $x=y=z=3$

[Super Fields]

Giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

$27^2=(x^2+y^2+z^2)^2\leq (x+y+z)(x^3+y^3+z^3)$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq \frac{27^2}{x+y+z}$

Lại có: $x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}= \sqrt{3.27}= 9$

$x^3+y^3+z^3\geq \frac{27^2}{9}=81$
Vậy Min $A=81$. Dấu "=" khi vả chỉ khi $x=y=z=3$

 

A! Mình nhầm! Mod ẩn hộ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 24-05-2014 - 00:05

[25 minutes]

Tìm $Min$ của $x^3+y^3+z^3$ biết: $x;y;z>0$ và $x^2+y^2+z^2=27$

AM-GM luôn nè
Ta có $x^3+x^3+27 \geqslant 9x^2$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có
$2(x^3+y^3+z^3)+81 \geqslant 9(x^2+y^2+z^2)$
$\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geqslant 81$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 24-05-2014 - 09:18

[tuananh2000]

AM-GM luôn nè

Ta có $x^3+x^3+27 \geqslant 6x^2$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có 

          $2(x^2+y^3+z^3)+81 \geqslant 6(x^2+y^2+z^2)$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geqslant 81$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=3$

Bạn có nhầm không vậy ??? $2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+81\geqslant6(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ nên $2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geqslant 81$. Vậy $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geqslant 40.5$ chứ .P/s : theo mình thì bạn theo AM-GM có $x^{3}+x^{3}+27 \geqslant 9x^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuananh2000: 24-05-2014 - 08:29