Bài này làm gì có MAX nhỉ :
Đặt $a=2003$
Ta có $P=x^3+y^3+2xy=(x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy=a(x^2+(a-x)^2)+x(a-x)(2-a)$=$x^2(3a-2)+x(2a-3a^2)+a^3$
PT đồng biến nên không có MAX
có mà !!
1. Cho $x,y > 0$ thỏa mãn: $x+y=2003$
Tìm Max, MIn của:
$P=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$
2. Cho x,y,z thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}
x+y+z\geq 0\\-1\leq x,y,z\leq 1
\end{matrix}\right.$
CMR: $x^{2}+y^{4}+z^{6}\leq 2$
Bài $1$. Lời giải sau đây là bài toán cho $x,y$ nguyên dương, còn nếu đề không cho $x,y$ nguyên dương thì quá dễ rồi !!
Ta có : $P=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=2003^3-6007xy$
_____________________________________________________________
ta có bổ đề phụ sau:
Nếu $x,y$ nguyên dương thỏa mãn $x+y=m$ thì giá trị nhỏ nhất của $xy=m-1$ và giá trị lớn nhất của $xy=\frac{m^2}{4}$ nếu $m$ chẵn còn nếu $m$ lẻ thì $Max _{xy}=\frac{m^2-1}{4}$
Chứng minh : Không mất tính tổng quát , giả sử $x \geq y$. Suy ra:
$1 \leq y \leq x \leq m \Rightarrow 0 \leq x-y \leq m-2$
Ta có : $4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$. Do đó :
+) $xy$ nhỏ nhất khi $x-y$ lớn nhất, hay $x-y=m-2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $xy$ là $x+y-1$, đạt được khi $x=m-1,y=1$ và ngược lại.
+) $xy$ lớn nhất khi $x-y$ nhỏ nhất . Do vậy ,
_ Nếu $m$ chẵn thì $x,y$ có thể bằng nhau nên $x-y$ nhỏ nhất là $0$, khi đó $Max_{xy}=\frac{m^2}{4}$ , tại $x=y=\frac{m}{2}$
_ Nếu $m$ lẻ thì $x,y$ không thể bằng nhau nên $x-y$ nhỏ nhất là $1$, khi đó $Max_{xy}=\frac{m^2-1}{4}$, tại $x=\frac{m+1}{2},y=\frac{m-1}{2}$
_____________________________________________________________________________
áp dụng vào bài toán , ta được $2002 \leq xy \leq 1001.1002$, từ đó suy ra :
$$2003^3-6007.1001.1002 \leq P \leq 2003^3-6007.2002$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 25-05-2014 - 08:24