Chủ đề này có 5 trả lời

[TianaLoveEveryone]

1. Cho $x,y > 0$ thỏa mãn: $x+y=2003$

 

Tìm Max, MIn của:

$P=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

 

2. Cho x,y,z thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z\geq 0\\-1\leq x,y,z\leq 1

\end{matrix}\right.$

CMR: $x^{2}+y^{4}+z^{6}\leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TianaLoveEveryone: 25-05-2014 - 00:24

[nguyenhongsonk612]

1. Cho $x,y > 0$ thỏa mãn: $x+y=2003$

 

Tìm Max, MIn của:

$P=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

Giải:

$P=x^3+y^3+2xy=2003(x^2+y^2)-2001xy\geq \frac{2003.2003^2}{2}-\frac{2001.2003^2}{4}=2011019511$

Vậy Min $P = 2011019511$

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=\frac{2003}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 25-05-2014 - 07:45

[buiminhhieu]

1. Cho $x,y > 0$ thỏa mãn: $x+y=2003$

 

Tìm Max, MIn của:

$P=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

 

Bài này làm gì có MAX nhỉ :

Đặt $a=2003$

Ta có $P=x^3+y^3+2xy=(x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy=a(x^2+(a-x)^2)+x(a-x)(2-a)$=$x^2(3a-2)+x(2a-3a^2)+a^3$

PT đồng biến nên không có MAX

[megamewtwo]

b) đề bài sai rồi:nếu x=y=z=1 thì sao ít nhất cũng phải cho:x+y+z=0 chứ

[Near Ryuzaki]

Bài này làm gì có MAX nhỉ :

Đặt $a=2003$

Ta có $P=x^3+y^3+2xy=(x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy=a(x^2+(a-x)^2)+x(a-x)(2-a)$=$x^2(3a-2)+x(2a-3a^2)+a^3$

PT đồng biến nên không có MAX

có mà !! 

 

1. Cho $x,y > 0$ thỏa mãn: $x+y=2003$

 

Tìm Max, MIn của:

$P=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

 

2. Cho x,y,z thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z\geq 0\\-1\leq x,y,z\leq 1

\end{matrix}\right.$

CMR: $x^{2}+y^{4}+z^{6}\leq 2$

Bài $1$. Lời giải sau đây là bài toán cho $x,y$ nguyên dương, còn nếu đề không cho $x,y$ nguyên dương thì quá dễ rồi !!

Ta có : $P=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=2003^3-6007xy$

_____________________________________________________________

ta có bổ đề phụ sau: 

Nếu $x,y$ nguyên dương thỏa mãn $x+y=m$ thì giá trị nhỏ nhất của $xy=m-1$ và giá trị lớn nhất của $xy=\frac{m^2}{4}$ nếu $m$ chẵn còn nếu $m$ lẻ thì $Max _{xy}=\frac{m^2-1}{4}$

Chứng minh : Không mất tính tổng quát , giả sử $x \geq y$. Suy ra:

$1 \leq y \leq x \leq m \Rightarrow 0 \leq x-y \leq m-2$

Ta có : $4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$. Do đó :

+) $xy$ nhỏ nhất khi $x-y$ lớn nhất, hay $x-y=m-2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $xy$ là $x+y-1$, đạt được khi $x=m-1,y=1$ và ngược lại.

+) $xy$ lớn nhất khi $x-y$ nhỏ nhất . Do vậy ,

_ Nếu $m$ chẵn thì $x,y$ có thể bằng nhau nên $x-y$ nhỏ nhất là $0$, khi đó $Max_{xy}=\frac{m^2}{4}$ , tại $x=y=\frac{m}{2}$

_ Nếu $m$ lẻ thì $x,y$ không thể bằng nhau nên $x-y$ nhỏ nhất là $1$, khi đó $Max_{xy}=\frac{m^2-1}{4}$, tại $x=\frac{m+1}{2},y=\frac{m-1}{2}$

_____________________________________________________________________________

áp dụng vào bài toán , ta được $2002 \leq xy \leq 1001.1002$, từ đó suy ra :

$$2003^3-6007.1001.1002 \leq P \leq 2003^3-6007.2002$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 25-05-2014 - 08:24

[hoanganhhaha]

bài 2 ta sẽ đưa số mũ của các biến về 2  $y+1\geq 0 ;y-1\leq 0 ; (y+1)(y-1)\leq 0;y^2-1\leq y^2(y^2-1)\leq 0$
do đó $y^4\leq y^2; z^6\leq z^2$ đúng là đề bài phải là  $x+y+z=0$