Chủ đề này có 1 trả lời

[Niken]

Trong mặt phẳng Oxy,cho Elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ và $M(1;-1)$.

1 đường thẳng $(d)$ đi wa $M$ cắt $Elip$ tại 2 điểm $A,B$.Tìm tọa độ $A,B$ để $P=MA.MB$ đạt giá trị lớn nhất.

                                                                   ....................................

[ChiLanA0K48]

$P_{M/(E)}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}< 1$

suy ra M nằm trong (E)

phương trình đường thẳng $(d)$ có vector chỉ phương$\overrightarrow{n}(a;b)$

phương trình tham số của $(d)$ $\left\{\begin{matrix} x=1+at\\ y=-1+bt \end{matrix}\right.$

Tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(E)$ là nghiệm hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x=1+at\\ y=-1+bt\\ \frac{x^{2} }{8}+\frac{y^{2} }{4}=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{(1+at)^{2}}{8}+\frac{(-1+bt)^{2}}{4}=1$

$\Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{8}+\frac{b^{2}}{4})t^{2}+(\frac{a}{4}-\frac{b}{2})t-\frac{5}{8}=0$ (*)

Phương trình(*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a,b suy ra (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt 

Đặt $A(1+at_{1};-1+bt_{1})$; $B(1+at_{2};-1+bt_{2})$ với $t_{1}$,$t_{2}$ là 2 nghiệm phương trình (*)

$\overrightarrow{MA}=t_{1}\overrightarrow{n}; \overrightarrow{MB}=t_{2}\overrightarrow{n}$

$MA.MB=|\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}|=|t_{1}t_{2}|\overrightarrow{n}^{2}=|\frac{\frac{-5}{8}}{\frac{a^{2}}{8}+\frac{b^{2}}{4}}|(a^{2}+b^{2})=\frac{5(a^{2}+b^{2})}{a^{2}+2b^{2}}=\frac{5}{\frac{b^{2}}{a^{2}+b^2}+1}$

$\Rightarrow MA.MB\leq 5$

MA.MB đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi b=0

suy ra phương trình đường thẳng d: x=1 suy ra tọa độ A, B