Chủ đề này có 4 trả lời

[aisman]

Nhờ mọi người giải hộ mình bài này

Tìm f(x) xác định trên R thỏa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovePearl_maytrang: 13-03-2006 - 01:28

[TieuSonTrangSi]

Chưa giải hoàn toàn được, nhưng xin phát biểu một vài nhận xét, mong có ai đó sẽ tiếp tục.

Vì http://dientuvietnam...metex.cgi?(2x y)-(x+2y)=x-y nên ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}= giá trị trung bình của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f trên đoạn http://dientuvietnam...091;x 2y,2x y]. Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f khả vi và

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{'}(x)=f(3x).

Từ đó, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f cũng khả vi bậc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda=f(0) thì http://dientuvietnam...cgi?f^{'}(0)=\lambda và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{n}(0)=3^{n(n-1)/2}\lambda. Vì vậy, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f nhận khai triển chuỗi Taylor xung quanh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=0 thì ta phải có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda=0 (), chuỗi bên vế phải không hội tụ (convergence radius = 0). Vậy, trong lĩnh vực các hàm khai triển ra thành chuỗi Taylor được, ta không có nghiệm nào khác.

Có thể nào có nghiệm "phức tạp" không khai triển thành chuỗi được không ?

[TieuSonTrangSi]

Lần này thì chứng minh được rằng http://dientuvietnam...metex.cgi?y=-x. Phương trình hàm trở thành

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f khả vi và http://dientuvietnam...cgi?f^{'}(t)=f(3t), nên ta cũng có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g(3x)=3g(x). Mặt khác, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?g khả vi và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?g(0)=0. Do đó,

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n\rightarrow\infty thì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?g có tuyến tính. Ta viết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x\in\mathbb{R}.

Trở lại (1), ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x=0, ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{'}(0)=\mu/2. Lấy đạo hàm bậc 3, rồi cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=0, ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{(3)}(0)=0. Tuy nhiên, theo bài trên, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{(3)}(0)=27f^{'}(0). Từ đó suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mu=0.

Vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=f(-x), tức là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f chẵn. Mặt khác, cũng theo (1) thì

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x\in\mathbb{R}. Lấy đạo hàm thì ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=0.

[MGRED007]

Làm thế này
cho y=0 khi đó f(x)-f(0) = :limits_{x}^{2x} f(t)dt =>f(x) khả vi
quy nạp dễ dàng có f khả vi vô hạn lần
Đạo hàm hai vế theo x ta được f'(x)= 2f(2x+y)- f(x+2y)
Đạo hàm hai vế theo y ta được 0= 2f'(2x+y)-2 f'(x+2y). Cho y=-2x được f'(-3x)=f'(0) => f'(x) không đổi => f(x)=ax+b. Thay vào điều kiên đầu ta giải ra a=b=0 => f(x)=0 mọi x

[bookworm_vn]

đây là bài trong Olympic Toán học SV năm 2002..