Chủ đề này có 4 trả lời

[yeutoan2604]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 27-05-2014 - 21:53

[Nguyen Duc Thuan]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Áp dụng C-S ta có:

$\sum \frac{b+c}{\sqrt{a}}=\geq 2\frac{(\sum \sqrt{a})^2}{\sum \sqrt{a}}=2\sum \sqrt{a}\geq \sum \sqrt{a}+3 $

Do $\sum \sqrt{a}\geq 3$

=> ĐPCM Dấu "=" khi $a=b=c=1$

[hoangmanhquan]

Áp dụng BĐT Schwarz:

$VT= \sum \frac{a}{\sqrt{b}}+\sum \frac{a}{\sqrt{c}}$

$\geq \frac{(\sum \sqrt{a})^2}{\sum \sqrt{a}}+\frac{(\sum \sqrt{a})^2}{\sum \sqrt{a}}$

$=\sum \sqrt{a}+\sum \sqrt{a}$

$\geq \sum \sqrt{a}+3\sqrt[6]{abc}=VP$

Dấu $"="$ xảy ra $<=> x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 27-05-2014 - 22:00

[Ngoc Hung]

Áp dụng Cauchy ta có $\frac{b+c}{\sqrt{a}}\geq \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}=\frac{2}{a}$ (Vì abc = 1). Do đó $P\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant 2\left ( \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}} \right )$ = $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3$

[BysLyl]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

BĐT đã cho tương đương với

$\frac{a+b+c}{\sqrt{a}}+\frac{a+b+c}{\sqrt{b}}+\frac{a+b+c}{\sqrt{c}}\geq2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3$ 

Ta có:

$\sum \frac{a+b+c}{\sqrt{a}}\geq (a+b+c)\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq \frac{3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3$$\geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

P/s: TL: chú ý Latex, sd soạn thảo đầy đủ trước khi đăng bài .

Thân!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 27-05-2014 - 22:21