Chủ đề này có 2 trả lời

[Mikhail Leptchinski]

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$ và mỗi số lớn hơn -1 và nhỏ hơn 1,Chứng minh

$a^{2}+b^{2}+c^{2}<2$

Mở rộng thành bài toán khác:

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn -1<a,b,c<1 và a+b+c=0.Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm:

$x^{2}-2(a-b-c)x+2(-ab+bc-ac+1)=0$

(Đề kiểm tra 1 tiết toàn khối 9 trường mình   )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungvu: 28-05-2014 - 11:15

[lahantaithe99]

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$ và mỗi số lớn hơn -1 và nhỏ hơn 1,Chứng minh

$a^{2}+b^{2}+c^{2}<2$

 

 

Gt đề bài suy ra $c^2<1$ $(1)$

 

Do $a+b+c=0$ nên tồn tại $2$ số nằm cùng $1$ phía trên truc số giả sử là $a,b$ 

 

Khi đó $ab\geqslant 0$ $(2)$

 

Kết hợp $(1);(2)$ có $a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+c^2-2ab=2(c^2-2ab)<2(1-ab)\leqslant 2$

 

Áp dụng vào bài toán :

 

$\Delta '=(a-b-c)^2-2(-ab+bc-ac+1)=a^2+b^2+c^2-2<0$

 

Do đó pt vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 28-05-2014 - 19:07

[bacninhquehuongtoi]

Ta có $-1< a;b;c< 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right ) \left ( 1+c \right )> 0& \\ \left ( 1-a\right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )> 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} abc+ab+bc+ca+a+b+c+1> 0 & \\ 1-abc+ab+bc+ca-a-b-c> 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2+ab+bc+ca> 0 \Rightarrow 2+\left ( a+b+c \right )^{2}> a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Mà  a+b+c=0 nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}< 2$