Chủ đề này có 1 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ac\geq abc$. Tìm GTNN của 

 

$P=\frac{a^4+b^4}{ab\left ( a^3+b^3 \right )}+\frac{c^4+b^4}{cb\left ( c^3+b^3 \right )}+\frac{a^4+c^4}{ac\left ( a^3+c^3 \right )}$

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ac\geq abc$. Tìm GTNN của 

 

$P=\frac{a^4+b^4}{ab\left ( a^3+b^3 \right )}+\frac{c^4+b^4}{cb\left ( c^3+b^3 \right )}+\frac{a^4+c^4}{ac\left ( a^3+c^3 \right )}$

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant 1$

Ta có $2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geqslant 0$

 $\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geqslant \frac{(a+b)(a^3+b^3)}{2ab(a^3+b^3)}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại ta được 

         $\sum  \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$