Chủ đề này có 5 trả lời

[trauvang97]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(a^2+b^2+c^2)$

[Kaito Kuroba]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(a^2+b^2+c^2)$

Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hoá: $a+b+c=3$

BĐT tương đương:$$3\sum a^4+3abc\sum ab\geq 2\sum a^2.\sum ab$$

Ta đặt:$\left\{\begin{matrix}
\sum a=p & \\
 \sum ab=q& \\
 abc=r&
\end{matrix}\right.$ Mặt khác ta có: $q=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3~~(1)$

$\Rightarrow \sum a^4=(\sum a)^4-4(\sum a)^2(\sum ab)+4(\sum ab)abc=81-36q+2q^2+12r$

$\sum a^2=9-2q$

Mặt khác theo schur ta luôn có:$r\geq \frac{(4q-p^2).p}{9}=\frac{4p-9}{3}$

Từ đây ta cần chứng minh rằng:$3(81-36q+2q^2+12r)+3rq\geq 2(9-2q)q
\Leftrightarrow 3\left [81-36q+2q^2+4(4q-9)  \right ]+q(4q-9)\geq 2(9-2q)q
\Leftrightarrow (q-3)(14q-45)\geq 0~~~(2)$

Từ $(1),(2)$ dễ dàng suy ra ĐPCM.

[trauvang97]

Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hoá: $a+b+c=3$

BĐT tương đương:$$3\sum a^4+3abc\sum ab\geq 2\sum a^2.\sum ab$$

Ta đặt:$\left\{\begin{matrix}
\sum a=p & \\
 \sum ab=q& \\
 abc=r&
\end{matrix}\right.$ Mặt khác ta có: $q=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3~~(1)$

$\Rightarrow \sum a^4=(\sum a)^4-4(\sum a)^2(\sum ab)+4(\sum ab)abc=81-36q+2q^2+12r$

$\sum a^2=9-2q$

Mặt khác theo schur ta luôn có:$r\geq \frac{(4q-p^2).p}{9}=\frac{4p-9}{3}$

Từ đây ta cần chứng minh rằng:$3(81-36q+2q^2+12r)+3rq\geq 2(9-2q)q
\Leftrightarrow 3\left [81-36q+2q^2+4(4q-9)  \right ]+q(4q-9)\geq 2(9-2q)q
\Leftrightarrow (q-3)(14q-45)\geq 0~~~(2)$

Từ $(1),(2)$ dễ dàng suy ra ĐPCM.

 

Dùng Schur xem được không em? Cái này khó hiểu lắm

[luuvanthai]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(a^2+b^2+c^2)$

Mình nghĩ bài này nên dùng SOS

Sử dụng 2 hằng đẳng thức 

$3\sum a^{4}-(ab+bc+ac)(\sum a^{2})=3\sum a^{4}-(\sum a^{2})^{2}+(\sum a^{2})^{2}-(\sum a^{2})(\sum ab)=\sum (a^{2}-b^{2})^{2}+(\sum a^{2})(\sum \frac{(a-b)^{2}}{2})=\sum \left ( \sum (a-b^{2})(\frac{\sum a^{2}}{2}+(a+b)^{2}) \right )$

+,$\sum a^{2}(\sum a)-9abc=(a+b+c)(\sum \frac{(a-b)^{2}}{2})+\sum a(b-c)^{2}=\sum (a-b)^{2}(a+\frac{a+b+c}{2})$

Bất đẳng thức cần cm tương đương với

$\sum \left \{ (a-b)^{2} \left [ (a+b)^{2}+2(\sum a^{2})(a+b+c)-(3a+b+c)(ab+bc+ac) \right ]\right \}\geq 0$

$S(a)=(\sum a)((b+c)^{2}+2\sum a^{2})-(3a+b+c)(ab+bc+ac)$

 $S(b)=(\sum a)((a+c)^{2}+2\sum a^{2})-(3b+a+c)\sum ab$

$S(c)=(\sum a)((a+b)^{2}+2\sum a^{2})-(3c+a+b)(\sum a)$

Giả sử $a\geq b\geq c$>0

Ta có $S(c)=(a+b+c)(3a^{2}+3b^{2}+2ab+2c^{2}-ab-bc-ac)-2c(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)(2a^{2}+2b^{2}+ab+2c^{2})-2c(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)(2c^{2}+2a^{2}+2b^{2}-bc-ac)\geq 0$

$S(b)=(a+b+c)(3a^{2}+3c^{2}+2ac+2b^{2}-ab-bc-ac)-2b(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)(2a^{2}+3c^{2}+2b^{2})-2b(ab+bc+ac)> (a+b+c)(2a^{2}+2b^{2}+3c^{2}-ab-bc-ac)> 0$

Ta có S(b),S(c)>0 suy ra S(b)+S(c)>0 ta chỉ cần cm Sb+Sa>0 là ok

Thật vậy

$Sb+Sc=(a+b+c)(3a^{2}+3c^{2}+2b^{2}+ac-ab-bc)-2b\sum ab+\sum a(3b^{2}+3c^{2}+2a^{2}+bc-ab-ac)-2a(\sum ab)=\sum a(5a^{2}+5b^{2}+6c^{2}-2ab)-2(a+b)\sum ab\geq 2(a+b+c)(\frac{5a^{2}+5b^{2}+6c^{2}}{2}-ab-ac-bc)> 0$

Hoàn tất cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 29-05-2014 - 22:23

[trauvang97]

Sao không bạn nào dùng Schur nhỉ?

[Hoang Tung 126]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{ab+bc+ca}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(a^2+b^2+c^2)$

Ta có:$\frac{3\sum a^4}{\sum ab}+\frac{9abc}{\sum a}\geq \frac{3\sum a^4}{\frac{(\sum a)^2}{3}}+\frac{9abc}{\sum a}=\frac{9\sum a^4}{(\sum a)^2}+\frac{9abc}{\sum a}=\frac{9\sum a^4+9abc\sum a}{(\sum a)^2}\geq 2\sum a^2< = > 9\sum a^4+9abc\sum a\geq 2(\sum a^2+2\sum ab)(\sum a^2)< = > 7\sum a^4+5abc\sum a\geq 4\sum a^2b^2+4\sum ab(a^2+b^2)$

Nhưng bdt này luôn đúng vì theo Schur bậc 4 và AM-GM có:

 $5(\sum a^4+abc\sum a)\geq 5\sum ab(a^2+b^2)\geq 4\sum ab(a^2+b^2)+2\sum a^2b^2$

  $2\sum a^4\geq 2a^2b^2$