Chủ đề này có 6 trả lời

[Messi10597]

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},\forall a,b,c>0;a+b+c=3.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi10597: 01-06-2014 - 22:32

[HoangHungChelski]

Vào đây xem  http://supermathtv.wordpress.com/
 Nếu công thức nào lỗi thì copy vào đây xem nhé http://www.codecogs....x/eqneditor.php 

[simplyAshenlong]

$\Leftrightarrow (\sum \frac{1}{a})^{2}-2(\sum\frac{1}{ab}) \geq (\sum a)^{2} -2(\sum ab)$

$\Leftrightarrow \frac {(\sum ab)^{2}}{(abc)^2}-2(\frac{\sum{a}}{abc}) \geq (\sum{a})^2 -2(\sum{ab})$
Đến đây ta đặt $\sum{ab}=x$ thì ta có:
$\frac{x^2}{(abc)^2}-\frac{6}{abc}\geq 9-2x$
$\Leftrightarrow x^2+(2x-9)(abc)^2-6abc \geq$
mà $(\sum{ab})^2 \geq 3(a+b+c)abc$ hay $x^2 \geq 9abc$
Suy ra bất đẳng thức một biến
Đến đây thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi simplyAshenlong: 01-06-2014 - 16:22

[nthoangcute]

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},\forall a,b,c;a+b+c=3.$

BĐT trên sai nên khỏi làm . VD $(a,b,c)=(1,2.5,-0.5)$
Chắc đề là $a,b,c > 0$

Lâu lâu chưa động đến BĐT ...
Lời giải :
Ta có $\dfrac{1}{a^2} - a^2 \geq -4a+4$ khi và chỉ khi $(a^2-2a-1)(a-1)^2 \leq 0$
Vậy :
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c > 0$
TH1 : $a \geq b \geq c \geq 1+\sqrt{2}$ thì vô lý
TH2 : $a\geq b \geq 1+\sqrt{2} \geq c > 0$ thì vô lý
Th3 : $a \geq 1+\sqrt{2} \geq b\geq c > 0$ thì :
$b+c=1-a \leq 1-\sqrt{2}$

Tóm lại ta có :

$1+\sqrt{2} \leq a < 3$
$0 < b \leq 1-\sqrt{2}$
$0 < c \leq \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$
Chặn được hết khoảng của $a,b,c$ rồi ...
Tiếp theo là xét hàm $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-x^2$ với $0 < x < 3$
Ta có $f'(x)=-\dfrac{1}{2x^3}-2x<0$
Vậy hàm $f(x)$ nghịch biến trên $(0,3)$
Áp dụng vào $a,b,c$ ta được :
$f(a) \geq f(3)=-\dfrac{80}{9}$
$f(b) \geq f(1-\sqrt{2})=4\sqrt{2}$
$f(c) \geq f \left(\dfrac{1-\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{45+34\sqrt{2}}{4}$
Cộng lại ta được :
$VT-VP \geq 4\sqrt{2}+\dfrac{45+34\sqrt{2}}{4}- \dfrac{80}{9}>0$
TH4 : $1+\sqrt{2} \geq a \geq b\geq c > 0$ thì :
$\dfrac{1}{a^2} - a^2 \geq -4a+4$
$\dfrac{1}{b^2} - b^2 \geq -4b+4$
$\dfrac{1}{c^2} - c^2 \geq -4c+4$
Suy ra $VT \geq VP$
BĐT được giải quyết hoàn toàn !!!
Tham khảo ở đây : 
(Đăng ký kênh của mình để được cập nhập nhiều hơn)

[simplyAshenlong]

BĐT trên sai nên khỏi làm . VD $(a,b,c)=(1,2.5,-0.5)$
Chắc đề là $a,b,c > 0$

bài làm của em đúng không nếu cho điều kiện a,b,c>0

[Messi10597]

BĐT trên sai nên khỏi làm . VD $(a,b,c)=(1,2.5,-0.5)$
Chắc đề là $a,b,c > 0$

Lâu lâu chưa động đến BĐT ...
Lời giải :
Ta có $\dfrac{1}{a^2} - a^2 \geq -4a+4$ khi và chỉ khi $(a^2-2a-1)(a-1)^2 \leq 0$
Vậy :
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c > 0$
TH1 : $a \geq b \geq c \geq 1+\sqrt{2}$ thì vô lý
TH2 : $a\geq b \geq 1+\sqrt{2} \geq c > 0$ thì vô lý
Th3 : $a \geq 1+\sqrt{2} \geq b\geq c > 0$ thì :
$b+c=1-a \leq 1-\sqrt{2}$

Tóm lại ta có :

$1+\sqrt{2} \leq a < 3$
$0 < b \leq 1-\sqrt{2}$
$0 < c \leq \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$
Chặn được hết khoảng của $a,b,c$ rồi ...
Tiếp theo là xét hàm $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-x^2$ với $0 < x < 3$
Ta có $f'(x)=-\dfrac{1}{2x^3}-2x<0$
Vậy hàm $f(x)$ nghịch biến trên $(0,3)$
Áp dụng vào $a,b,c$ ta được :
$f(a) \geq f(3)=-\dfrac{80}{9}$
$f(b) \geq f(1-\sqrt{2})=4\sqrt{2}$
$f(c) \geq f \left(\dfrac{1-\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{45+34\sqrt{2}}{4}$
Cộng lại ta được :
$VT-VP \geq 4\sqrt{2}+\dfrac{45+34\sqrt{2}}{4}- \dfrac{80}{9}>0$
TH4 : $1+\sqrt{2} \geq a \geq b\geq c > 0$ thì :
$\dfrac{1}{a^2} - a^2 \geq -4a+4$
$\dfrac{1}{b^2} - b^2 \geq -4b+4$
$\dfrac{1}{c^2} - c^2 \geq -4c+4$
Suy ra $VT \geq VP$
BĐT được giải quyết hoàn toàn !!!
Tham khảo ở đây : 
(Đăng ký kênh của mình để được cập nhập nhiều hơn)

em sửa rồi nhá ,đúng là đề là a,b,c>0

[nguyenhongsonk612]

BĐT trên sai nên khỏi làm . VD $(a,b,c)=(1,2.5,-0.5)$
Chắc đề là $a,b,c > 0$

Lâu lâu chưa động đến BĐT ...
Lời giải :
Ta có $\dfrac{1}{a^2} - a^2 \geq -4a+4$ khi và chỉ khi $(a^2-2a-1)(a-1)^2 \leq 0$
Vậy :
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c > 0$
TH1 : $a \geq b \geq c \geq 1+\sqrt{2}$ thì vô lý
TH2 : $a\geq b \geq 1+\sqrt{2} \geq c > 0$ thì vô lý
Th3 : $a \geq 1+\sqrt{2} \geq b\geq c > 0$ thì :
$b+c=1-a \leq 1-\sqrt{2}$

Tóm lại ta có :

$1+\sqrt{2} \leq a < 3$
$0 < b \leq 1-\sqrt{2}$
$0 < c \leq \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$
Chặn được hết khoảng của $a,b,c$ rồi ...

Anh ơi, anh có thể hướng dẫn cho em cái chỗ chặn khoảng không, để lần sau có bài tập về chặn như thế em còn biết làm. Em cám ơn!