Chủ đề này có 16 trả lời

[HoangHungChelski]

                                  ĐỀ THI THỬ VÀO 10 CHUYÊN TOÁN 2014-2015
                                                   THCS LÊ THANH NGHỊ
                                                                                                 Thời gian: 120 phút

Câu 1:
Tìm tất cả các số tự nhiên $k$ thỏa mãn điều kiện: Tích các chữ số của $k$ bằng $44k-86868$.

Câu 2: 
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=2b & \\ x^2y-xy^2=b & \end{matrix}\right.$

Câu 3: 
Tìm mối liên hệ giữa $a,b,c$ biết rằng tích một nghiệm của phương trình $x^2+ax+1=0$ với một nghiệm nào đó của phương trình $x^2+bx+1=0$ là một nghiệm của phương trình $x^2+cx+1=0$

Câu 4:
Cho $MN$ là một dây của đường tròn $(O)$. Vẽ một $\triangle ABC$ bất kì có $AB$ là đường kính của đường tròn và  hai cạnh $AC,BC$ lần lượt đi qua $M,N$. 
CMR: Đường cao hạ từ $C$ của $\triangle ABC$ đi qua một điểm cố định.

Câu 5: 
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Tìm GTLN của 
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}$

P/s: Thầy cô đe dọa tinh thần học sinh quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 02-06-2014 - 19:04

[khanghaxuan]

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}&=2b & \\ 2x^{2}y-2xy^{2}&=2b & \end{matrix}\right.\Rightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=2xy(x-y) \Rightarrow (x-y)(x^{2}-xy+y^{2})=0$ .Tới đây chắc xong rồi

[Viet Hoang 99]

                       
Câu 5: 
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Tìm GTNN của 
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}$

P/s: Thầy cô đe dọa tinh thần học sinh quá!

Cách khác theo CASIO mới học được 

Ta sẽ CM: $\frac{1}{a^2+2}\geq -\frac{2}{9}.a+\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow (a-1)^2(2a-1)\geq 0$ (Luôn đúng với mọi $a>0$

Cmtt ...

Cộng lại ta có: $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq -\frac{2}{9}.(a+b+c)+\frac{15}{9}$

Mà: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9$

$\Rightarrow a+b+c\geq 3$ (do $a;b;c>0$)

Sao bị ngược dấu rồi, thủ thuật CASIO bị sai à?

[Oral1020]

Bài này nếu GTNN là 1 thì đề sai rồi.Thử đi

$a=0,8;b=0,9;c=\frac{114}{85}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 02-06-2014 - 18:58

[hoanganhhaha]

Cách khác theo CASIO mới học được 

Ta sẽ CM: $\frac{1}{a^2+2}\geq -\frac{2}{9}.a+\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow (a-1)^2(2a-1)\geq 0$ (Luôn đúng với mọi $a>0$

Cmtt ...

Cộng lại ta có: $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq -\frac{2}{9}.(a+b+c)+\frac{15}{9}$

Mà: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9$

$\Rightarrow a+b+c\geq 3$ (do $a;b;c>0$)

Sao bị ngược dấu rồi, thủ thuật CASIO bị sai à?

cách này hay quá, nhưng mà làm sao nghĩ ra dc như thế hả anh. Anh bày cho em với , năm nay cũng phải thi 10 chuyên rồi

[HoangHungChelski]

cách này hay quá, nhưng mà làm sao nghĩ ra dc như thế hả anh. Anh bày cho em với , năm nay cũng phải thi 10 chuyên rồi

vào wall của anh nthoangcute, anh ấy có đăng lên đấy. Còn nếu không thì google search Phương pháp UCT

[HoangHungChelski]

Bài này nếu GTNN là 1 thì đề sai rồi.Thử đi

$a=0,8;b=0,9;c=\frac{114}{85}$

sai đề, đã fix

[lahantaithe99]

           
Câu 5: 
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Tìm GTLN của 
$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}$

P/s: Thầy cô đe dọa tinh thần học sinh quá!

Thế thì

 

Đặt $2P=\sum \frac{2}{2+a^2}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2}$

 

Lại có

 

$\sum \frac{a^2}{2+a^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2\sum ab }=1$

 

$\Rightarrow 2P\leqslant 2\Rightarrow P\leqslant 1$

 

------------------------------

P/s : đã sửa lại bài

[Viet Hoang 99]

cách này hay quá, nhưng mà làm sao nghĩ ra dc như thế hả anh. Anh bày cho em với , năm nay cũng phải thi 10 chuyên rồi

ngược dấu rồi mà!

[hoanganhhaha]

nhưng mà vẫn hay :V

[Trang Luong]

Cách khác theo CASIO mới học được 

Ta sẽ CM: $\frac{1}{a^2+2}\geq -\frac{2}{9}.a+\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow (a-1)^2(2a-1)\geq 0$ (Luôn đúng với mọi $a>0$

Cmtt ...

Cộng lại ta có: $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq -\frac{2}{9}.(a+b+c)+\frac{15}{9}$

Mà: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9$

$\Rightarrow a+b+c\geq 3$ (do $a;b;c>0$)

Sao bị ngược dấu rồi, thủ thuật CASIO bị sai à?

Luôn đúng với $a\geq \frac{1}{2}$

[midory]

toàn giải câu 5 thế câu 1 ntn zợ               

[Viet Hoang 99]

                                  ĐỀ THI THỬ VÀO 10 CHUYÊN TOÁN 2014-2015
                                                   THCS LÊ THANH NGHỊ
                                                                                                 Thời gian: 120 phút

Câu 1:
Tìm tất cả các số tự nhiên $k$ thỏa mãn điều kiện: Tích các chữ số của $k$ bằng $44k-86868$.

 

$\boxed{k=1989}$

Hướng giải
Gọi số chữ số của $k$ là $n$

Số chữ số của $44k$ ít nhất là $n+1$

Số chữ số của $44k-86868$ phải giảm đi ít nhất 1 chữ số so với $44k$

$k$ tự nhiên thì tích các chữ số của $k$ tự nhiên
$\Rightarrow 44k-86868>0$

$\Rightarrow k\geq 1975$

Xét ...

$44k$ có $5$ chữ số

$44k$ có $6$ chữ số

$44k$ có nhiều hơn $6$ chữ số

 

Dùng chặn đi, chặn $k$ và $n$

 

[phuocdinh1999]

                                  ĐỀ THI THỬ VÀO 10 CHUYÊN TOÁN 2014-2015
                                                   THCS LÊ THANH NGHỊ
                                                                                                 Thời gian: 120 phút


Câu 4:
Cho $MN$ là một dây của đường tròn $(O)$. Vẽ một $\triangle ABC$ bất kì có $AB$ là đường kính của đường tròn và  hai cạnh $AC,BC$ lần lượt đi qua $M,N$. 
CMR: Đường cao hạ từ $C$ của $\triangle ABC$ đi qua một điểm cố định.
 

Câu 4:

                                       

Khi $C$ nằm ngoài $(O)$ hay nằm trong $(O)$ thì đường cao từ $C$ đến $AB$ ko thay đổi

Không mất tính tổng quát, giả sử $C$ nằm ngoài $(O)$

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$, $CI$ cắt $AB$ tại $D$

 

Dễ thấy $IM=IN$ và $OM=ON$ nên $\widehat{IMO}=\widehat{INO}(1)$

 

Mặt khác, $\widehat{MIN}=2\widehat{MCN}=2(90^0-\widehat{NBM})=180^0-\widehat{NOM}$ 

Suy ra $MONI:tgnt$. Kết hợp $(1)$ suy ra $\widehat{INO}=\widehat{IMO}=90^0$

 

$\Rightarrow I$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến kẻ từ $M,N$ của $(O)$ $\Rightarrow I$ cố định

 

Ta lại có: $\widehat{ICN}=\frac{180^0-\widehat{CIN}}{2}=90^0-\widehat{CMN}=90^0-\widehat{CBA}\Rightarrow CI \perp AB$

Hay $CI$ cũng là đường cao tam giác $CBA$

 

Vậy đường cao từ $C$ luôn đi qua điểm $I$ cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 04-06-2014 - 06:49

[Super Fields]

Tiện đây hỏi luôn: Phương pháp UTC:

 

Làm thế nào để xác định hệ số $\alpha$ trước $m(a-1)$?

[Viet Hoang 99]

Tiện đây hỏi luôn: Phương pháp UTC:

 

Làm thế nào để xác định hệ số $\alpha$ trước $m(a-1)$?

Để làm gì, cứ xác định $m$ trước đi rồi tìm ra $\alpha $

[Love Math forever]

Câu 4:

                                       

Khi $C$ nằm ngoài $(O)$ hay nằm trong $(O)$ thì đường cao từ $C$ đến $AB$ ko thay đổi

Không mất tính tổng quát, giả sử $C$ nằm ngoài $(O)$

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$, $CI$ cắt $AB$ tại $D$

 

Dễ thấy $IM=IN$ và $OM=ON$ nên $\widehat{IMO}=\widehat{INO}(1)$

 

Mặt khác, $\widehat{MIN}=2\widehat{MCN}=2(90^0-\widehat{NBM})=180^0-\widehat{NOM}$ 

Suy ra $MONI:tgnt$. Kết hợp $(1)$ suy ra $\widehat{INO}=\widehat{IMO}=90^0$

 

$\Rightarrow I$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến kẻ từ $M,N$ của $(O)$ $\Rightarrow I$ cố định

 

Ta lại có: $\widehat{ICN}=\frac{180^0-\widehat{CIN}}{2}=90^0-\widehat{CMN}=90^0-\widehat{CBA}\Rightarrow CI \perp AB$

Hay $CI$ cũng là đường cao tam giác $CBA$

 

Vậy đường cao từ $C$ luôn đi qua điểm $I$ cố định

Bài này phải đặc biệt hóa kiểu gì. Hay là cứ dự đoán.