Chủ đề này có 7 trả lời

[taovanchi]

Cho x,y.z là các số dương sao cho: xyz+x-y+z=0.Tìm GTLN $P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$

@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 02-06-2014 - 22:35

[taovanchi]

$xyz+x-y+z=0 \Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1-xz}{x+z}$

biểu thức dưới mẫu số dạng $1+x^2$

đặt $x=tan\frac{a}{2}$, $\frac{1}{y}=tan\frac{b}{2}$, $z=tan\frac{c}{2}$

$y=\frac{x+z}{1-xz}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1-xz}{x+z}\Leftrightarrow tan\frac{b}{2}=\frac{1-tan\frac{a}{2}tan\frac{c}{2}}{tan\frac{a}{2}+tan\frac{c}{2}}=cot(\frac{a}{2}+\frac{c}{2})\Leftrightarrow \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow a+b+c=\pi$

 

$P=2cos^{2}\frac{a}{2}-2sin^{2}\frac{b}{2}+3cos^{2}\frac{c}{2}=1+cos{a}-(1-cos{b})+3cos^{2}\frac{c}{2}=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}+3cos^{2}\frac{c}{2}=3-3sin^{2}\frac{c}{2}+2sin\frac{c}{2}cos\frac{a-b}{2}$

$P=3+\frac{1}{3}3cos^{2}\frac{a-b}{2}-3(sin\frac{c}{2}-\frac{1}{3}cos(\frac{a-b}{2}))^2\leq \frac{10}{3}$

dấu "=" xảy ra khi $cos\frac{a-b}{2}=1$ và $sin\frac{c}{2}-\frac{1}{3}cos\frac{a-b}{2}=0$

$\Leftrightarrow a=b$ và$sin\frac{c}{2}=\frac{1}{3}$$\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}, y=\sqrt{2}, z=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

[taovanchi]

ai có thể giải bài này bằng cách khác không chứ việc xử lý $\frac{3}{z^2+1}$ hơi khó làm

[Binh Le]

Bài này là đề thi VMO 1998-1999 bảng A
Lời giải sử dụng LG là ngắn gọn và hay nhất rồi (cũng là lời giải của bộ)

[tim1nuathatlac]

Cho x,y.z là các số dương sao cho: xyz+x-y+z=0.Tìm GTLN $P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$

@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề

Cách này bạn coi xem có được ko?

 

$gt\Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}$   thay vào P ta có được:

 

$P=\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{3}{z^{2}+1}-\frac{2\left ( 1-xz \right )^{2}}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( z^{2}+1 \right )}$

 

$=2+\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}z^{2}+x^{2}+z^{2}+1}$

 

Mạt khác, ta chỉ ra được:

 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$

 

$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$

[taovanchi]

 

 

 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$

 

$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$

vấn đề là ở đây rất khó để nhận ra được cực trị của biểu thức bạn chứng minh nếu không dự đoán được kết quả. nên nếu không biết trước lời giải khó co thể chứng minh theo cách này

[tim1nuathatlac]

vấn đề là ở đây rất khó để nhận ra được cực trị của biểu thức bạn chứng minh nếu không dự đoán được kết quả. nên nếu không biết trước lời giải khó co thể chứng minh theo cách này

 

Chọn ra con số $\frac{4}{3}$ đơn giản mà bạn.

 

Giả sử ta có 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq t$

 

$\Leftrightarrow x^{2}\left ( t-1 \right )+tz^{2}+x^{2}z^{2}\left ( t+4 \right )-4xz+\left ( t-1 \right )\geq 0$

 

Để có max thì ta phải biến đổi được bất đẳng thức trên về dạng $A^{2}+B^{2}\geq 0$ ... tức là có phép biến đổi sau:

 

$\Leftrightarrow \left [ x\sqrt{t-1}-z\sqrt{t} \right ]^{2}+\left [ xz\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1} \right ]^{2}\geq 0$

 

 

Như vậy, đồng nhất hệ số thì ta cần chọn $t$ sao cho $\sqrt{t\left ( t-1 \right )}+\sqrt{\left ( t-1 \right )\left ( t+4 \right )}=2$ 

 

Đến đây thì ra oy` nhá, $t=\frac{4}{3}$ , thế là có max oy`.$\square$

[buitudong1998]

Cho x,y.z là các số dương sao cho: xyz+x-y+z=0.Tìm GTLN $P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$

@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề

Xem tại đây