Cho x,y.z là các số dương sao cho: xyz+x-y+z=0.Tìm GTLN $P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$
@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 02-06-2014 - 22:35
Cho x,y.z là các số dương sao cho: xyz+x-y+z=0.Tìm GTLN $P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$
@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 02-06-2014 - 22:35
$xyz+x-y+z=0 \Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1-xz}{x+z}$
biểu thức dưới mẫu số dạng $1+x^2$
đặt $x=tan\frac{a}{2}$, $\frac{1}{y}=tan\frac{b}{2}$, $z=tan\frac{c}{2}$
$y=\frac{x+z}{1-xz}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1-xz}{x+z}\Leftrightarrow tan\frac{b}{2}=\frac{1-tan\frac{a}{2}tan\frac{c}{2}}{tan\frac{a}{2}+tan\frac{c}{2}}=cot(\frac{a}{2}+\frac{c}{2})\Leftrightarrow \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow a+b+c=\pi$
$P=2cos^{2}\frac{a}{2}-2sin^{2}\frac{b}{2}+3cos^{2}\frac{c}{2}=1+cos{a}-(1-cos{b})+3cos^{2}\frac{c}{2}=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}+3cos^{2}\frac{c}{2}=3-3sin^{2}\frac{c}{2}+2sin\frac{c}{2}cos\frac{a-b}{2}$
$P=3+\frac{1}{3}3cos^{2}\frac{a-b}{2}-3(sin\frac{c}{2}-\frac{1}{3}cos(\frac{a-b}{2}))^2\leq \frac{10}{3}$
dấu "=" xảy ra khi $cos\frac{a-b}{2}=1$ và $sin\frac{c}{2}-\frac{1}{3}cos\frac{a-b}{2}=0$
$\Leftrightarrow a=b$ và$sin\frac{c}{2}=\frac{1}{3}$$\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}, y=\sqrt{2}, z=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
ai có thể giải bài này bằng cách khác không chứ việc xử lý $\frac{3}{z^2+1}$ hơi khó làm
Bài này là đề thi VMO 1998-1999 bảng A
Lời giải sử dụng LG là ngắn gọn và hay nhất rồi (cũng là lời giải của bộ)
๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ
Cho x,y.z là các số dương sao cho: xyz+x-y+z=0.Tìm GTLN $P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$
@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề
Cách này bạn coi xem có được ko?
$gt\Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}$ thay vào P ta có được:
$P=\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{3}{z^{2}+1}-\frac{2\left ( 1-xz \right )^{2}}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( z^{2}+1 \right )}$
$=2+\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}z^{2}+x^{2}+z^{2}+1}$
Mạt khác, ta chỉ ra được:
$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$
$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$
$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$
$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$
$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$
$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$
vấn đề là ở đây rất khó để nhận ra được cực trị của biểu thức bạn chứng minh nếu không dự đoán được kết quả. nên nếu không biết trước lời giải khó co thể chứng minh theo cách này
vấn đề là ở đây rất khó để nhận ra được cực trị của biểu thức bạn chứng minh nếu không dự đoán được kết quả. nên nếu không biết trước lời giải khó co thể chứng minh theo cách này
Chọn ra con số $\frac{4}{3}$ đơn giản mà bạn.
Giả sử ta có
$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq t$
$\Leftrightarrow x^{2}\left ( t-1 \right )+tz^{2}+x^{2}z^{2}\left ( t+4 \right )-4xz+\left ( t-1 \right )\geq 0$
Để có max thì ta phải biến đổi được bất đẳng thức trên về dạng $A^{2}+B^{2}\geq 0$ ... tức là có phép biến đổi sau:
$\Leftrightarrow \left [ x\sqrt{t-1}-z\sqrt{t} \right ]^{2}+\left [ xz\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1} \right ]^{2}\geq 0$
Như vậy, đồng nhất hệ số thì ta cần chọn $t$ sao cho $\sqrt{t\left ( t-1 \right )}+\sqrt{\left ( t-1 \right )\left ( t+4 \right )}=2$
Đến đây thì ra oy` nhá, $t=\frac{4}{3}$ , thế là có max oy`.$\square$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh