Chủ đề này có 1 trả lời

[ThuTrangg]

Tìm cực trị của hàm số: $z=x^{2}+y^{2}+xy$ với điều kiện $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 03-06-2014 - 19:45

[nhc156]

Tìm cực trị $z = {x^2} + {y^2} + xy$ với điều kiện ${(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = \frac{1}{2}$

Lập hàm Lagrange: \[F(x,y,\lambda ) = {x^2} + {y^2} + xy + \lambda \left[ {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} - \frac{1}{2}} \right]\]

Tính các đạo hàm riêng:

${F'_x} = 2x + y + 2\lambda (x - 1)$

${F'_y} = 2y + x + 2\lambda (y - 1)$

${F'_\lambda } = {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} - \frac{1}{2}$

Tìm điểm tới hạn:

$\left\{ \begin{matrix}F'_x = 2x + y + 2\lambda (x - 1) = 0\\F' = 2y + x + 2\lambda (y - 1) = 0\\F'_\lambda = {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} - \frac{1}{2} = 0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix}x=y=\frac{1}{2}\\\lambda = \frac{3}{2} \end{matrix} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right),{\lambda _1} = \frac{3}{2}\\ \left\{ \begin{matrix}x = y = \frac{3}{2}\\ \lambda = - \frac{9}{2} \end{matrix} \right. \Rightarrow N\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right),\lambda _2 = - \frac{9}{2} \end{matrix} \right.$

 

Xét vi phân:

${d^2}F(x,y,\lambda ) = {{F''}_{xx}}(x,y,\lambda )d{x^2} + 2{{F''}_{xy}}(x,y,\lambda )dxdy + {{F''}_{yy}}(x,y,\lambda )d{y^2} $

$= (2 + 2\lambda )d{x^2} + 2dxdy + (2 + 2\lambda )d{y^2} $

$= (2 + 2\lambda )\left( {d{x^2} + d{y^2}} \right) + 2dxdy$

Xét vi phân tại hai điểm tới hạn: ${d^2}F({x_M},{y_M},{\lambda _1}) = ?$ và  ${d^2}F({x_N},{y_N},{\lambda _2}) = ?$

Nếu ${d^2}F > 0$ thì cực tiểu

Nếu ${d^2}F < 0$ thì cực đại
 

Note of mrnhan: Sếp gõ hơi tham đấy, tách ra mà gõ. Học lại cách gõ công thức toán đi, rắc rối quá, không biết mình sửa lại như thế đúng như lời giải của sếp chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 05-06-2014 - 04:19
Chỉnh sửa và tái bản :D