Chủ đề này có 1 trả lời

[skyfallblack2]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng hình chữ nhật MNPQ sao cho M,N là các điểm trên cạnh BC, còn P,Q lần lượt là các điểm trên AC,AB. Gọi R1,R2,R3 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác BQM, CPN, AQP.Cmr;

Diện tích MNPQ max khi và chỉ khi $R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=R_{3}^{2}$

[HungNT]

Gọi $r_{1},r_{2},r_{3}$ là bán kính đường tròn nội $\Delta AHB,\Delta AHC,\Delta ABC$

Dựng đường cao AH, theo Talet ta có $\frac{PQ}{BC}=\frac{AQ}{AB};\frac{MQ}{AH}=\frac{BQ}{AB}$

mà $\frac{AQ}{AB}+\frac{BQ}{AB}=1$ nên tích $\frac{AQ}{AB}.\frac{BQ}{AB}$ lớn nhất khi 2 tỉ số bằng nhau $\rightarrow AQ=QB$ hay P,Q là trung điểm AC,AB$\rightarrow$ M,N trung điểm BH,CH

$\rightarrow \frac{PQ}{BC}.\frac{MQ}{AH}$ hay $\frac{S_{MNPQ}}{2S_{ABC}}$ max khi P,Q là trung điểm AB,AC

Do $\Delta AHB,\Delta CHA,\Delta CAB$ từng đôi một đồng dạng với nhau

Ta c/m được $\frac{r_{1}}{AB}=\frac{r_{2}}{AC}=\frac{r_{3}}{BC}\rightarrow \frac{r_{1}^{2}}{AB^{2}}=\frac{r_{2}^{2}}{AC^{2}}=\frac{r_{3}^{2}}{BC^{2}}$

mà $\frac{r_{1}^{2}}{AB^{2}}=\frac{r_{2}^{2}}{AC^{2}}=\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{AB^{2}+AC^{2}}=\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{BC^{2}}\rightarrow r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r_{3}^{2}$

$\Delta BMQ\sim \Delta BHA$ theo tỉ số $\frac{1}{2}\rightarrow$$\frac{R_{1}}{r_{1}}=\frac{1}{2}$

Tương tự $\frac{R_{2}}{r_{2}}=\frac{1}{2};\frac{R_{3}}{r_{3}}=\frac{1}{2}$

$\rightarrow \frac{R_{1}^{2}}{4}+\frac{R_{2}^{2}}{4}=\frac{R_{3}^{2}}{4}\rightarrow R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=R_{3}^{2}\left ( dpcm \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 04-06-2014 - 14:54