Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cy^{2}+dy+a=0 (a,c\neq 0)$. Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$
Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$
#1
Posted 03-06-2014 - 11:08
#2
Posted 03-06-2014 - 11:33
Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cy^{2}+dy+a=0 (a,c\neq 0)$. Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$
Đề đúng:
Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cy^{2}+dy+a=0 (a,c\neq 0)$ có 2 nghiệm lần lượt là $x_1;x_2$ và $y_1;y_2$. Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$
Chắc phải có $a;c$ cùng dấu
Giải:
2 PT trên có 2 nghiệm khi $\Delta \geq 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b^2\geq 4ac & & \\ d^2\geq 4ac & & \end{matrix}\right.$
Có:
$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2=(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2-2x_1x_2-2y_1y_2$
$=\left ( -\frac{b}{a} \right )^2+\left ( -\frac{d}{c} \right )^2-2.\frac{c}{a}-2.\frac{a}{c}$
$=\frac{b^2}{a^2}+\frac{d^2}{c^2}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}$
$\geq \frac{4ac}{a^2}+\frac{4ac}{c^2}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}=\frac{4c}{a}+\frac{4a}{c}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}$
$=\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}=2\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq 4$
(Theo BĐT Cô si)
Edited by Viet Hoang 99, 03-06-2014 - 13:38.
- DarkBlood, buiminhhieu and nguyenhongsonk612 like this
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#3
Posted 03-06-2014 - 12:37
Đề đúng:
Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cy^{2}+dy+a=0 (a,c\neq 0)$ có 2 nghiệm lần lượt là $x_1;x_2$ và $y_1;y_2$. Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$
Giải:
2 PT trên có 2 nghiệm khi $\Delta \geq 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b^2\geq 4ac & & \\ d^2\geq 4ac & & \end{matrix}\right.$
Có:
$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2=(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2-2x_1x_2-2y_1y_2$
$=\left ( -\frac{b}{a} \right )^2+\left ( -\frac{d}{c} \right )^2-2.\frac{c}{a}-2.\frac{a}{c}$
$=\frac{b^2}{a^2}+\frac{d^2}{c^2}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}$
$\geq \frac{4ac}{a^2}+\frac{4ac}{c^2}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}=\frac{4c}{a}+\frac{4a}{c}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}$
$=\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}=2\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq 4$
(Theo BĐT Cô si)
Nhỡ $a,c$ trái dấu thì $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq -2$
- Viet Hoang 99 likes this
Chuyên Vĩnh Phúc
#4
Posted 04-06-2014 - 17:52
Nhỡ $a,c$ trái dấu thì $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq -2$
làm thế này có đúng k Hiếu.
Giải:
Đk để 2 pt trên có nghiệm $\left\{\begin{matrix} b^2\geq 4ac & & \\ d^2\geq 4ac & & \end{matrix}\right.$
Theo Vi-ét ta có:
$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a} & & \\ x_1.x_2=\frac{c}{a} & & \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix} y_1+y_2=\frac{-d}{c} & & \\ y_1.y_2=\frac{a}{c} & & \end{matrix}\right.$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\geq 4\sqrt[4]{x_1^2.x_2^2.y_1^2.y_2^2}= 4\sqrt{\frac{c^2}{a^2}.\frac{a^2}{c^2}}=4$ (đpcm)
Edited by nguyenhongsonk612, 05-06-2014 - 01:00.
- buiminhhieu, thinhrost1, Viet Hoang 99 and 1 other like this
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Posted 04-06-2014 - 23:20
Như đã nói $a,c,$ trái dấu thì làm sao $AM-GM$ (có số $x_{i},y_{I}< 0$)
1)Tổng 4 bình phương không thể <0
2) a và c trài dấu nhưng tích 2 ngịch đảo luôn dương
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users