Chủ đề này có 4 trả lời

[skyfallblack2]

Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cy^{2}+dy+a=0 (a,c\neq 0)$. Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$

[Viet Hoang 99]

Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cy^{2}+dy+a=0 (a,c\neq 0)$. Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$

Đề đúng:

Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cy^{2}+dy+a=0 (a,c\neq 0)$ có 2 nghiệm lần lượt là $x_1;x_2$ và $y_1;y_2$. Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$

Chắc phải có $a;c$ cùng dấu

Giải:

2 PT trên có 2 nghiệm khi $\Delta \geq 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b^2\geq 4ac & & \\ d^2\geq 4ac & & \end{matrix}\right.$
Có:
$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2=(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2-2x_1x_2-2y_1y_2$
$=\left ( -\frac{b}{a} \right )^2+\left ( -\frac{d}{c} \right )^2-2.\frac{c}{a}-2.\frac{a}{c}$
$=\frac{b^2}{a^2}+\frac{d^2}{c^2}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}$
$\geq \frac{4ac}{a^2}+\frac{4ac}{c^2}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}=\frac{4c}{a}+\frac{4a}{c}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}$
$=\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}=2\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq 4$ 
(Theo BĐT Cô si)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-06-2014 - 13:38

[buiminhhieu]

Đề đúng:

Giả sử phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cy^{2}+dy+a=0 (a,c\neq 0)$ có 2 nghiệm lần lượt là $x_1;x_2$ và $y_1;y_2$. Cmr $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq 4$

Giải:

2 PT trên có 2 nghiệm khi $\Delta \geq 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b^2\geq 4ac & & \\ d^2\geq 4ac & & \end{matrix}\right.$
Có:
$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2=(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2-2x_1x_2-2y_1y_2$
$=\left ( -\frac{b}{a} \right )^2+\left ( -\frac{d}{c} \right )^2-2.\frac{c}{a}-2.\frac{a}{c}$
$=\frac{b^2}{a^2}+\frac{d^2}{c^2}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}$
$\geq \frac{4ac}{a^2}+\frac{4ac}{c^2}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}=\frac{4c}{a}+\frac{4a}{c}-\frac{2c}{a}-\frac{2a}{c}$
$=\frac{2a}{c}+\frac{2c}{a}=2\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq 4$ 
(Theo BĐT Cô si)

Nhỡ $a,c$ trái dấu thì $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq -2$

[nguyenhongsonk612]

Nhỡ $a,c$ trái dấu thì $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq -2$

làm thế này có đúng k Hiếu.

Giải:

Đk để 2 pt trên có nghiệm $\left\{\begin{matrix} b^2\geq 4ac & & \\ d^2\geq 4ac & & \end{matrix}\right.$

Theo Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a} & & \\ x_1.x_2=\frac{c}{a} & & \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix} y_1+y_2=\frac{-d}{c} & & \\ y_1.y_2=\frac{a}{c} & & \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\geq 4\sqrt[4]{x_1^2.x_2^2.y_1^2.y_2^2}= 4\sqrt{\frac{c^2}{a^2}.\frac{a^2}{c^2}}=4$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 05-06-2014 - 01:00

[songchiviuocmo2014]

Như đã nói $a,c,$ trái dấu thì làm sao $AM-GM$ (có  số $x_{i},y_{I}< 0$)

1)Tổng 4 bình phương không thể <0 
2) a và c trài dấu nhưng tích 2 ngịch đảo luôn dương