1 reply to this topic

[yeutoan2604]

Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$ Tìm Max $Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$

[DarkBlood]

Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$ Tìm Max $Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$

ĐK: $b^2\geq 4ac$

Theo hệ thức viet, ta có: 

$x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$

$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$

Từ gt, suy ra $x_1^2\leq x_1x_2$ và $x_2^2\leq 4$

Ta có:

$\textrm{Q}=\dfrac{2a^2-3ab+b^2}{2a^2-ab+ac}=\dfrac{2-3\dfrac{b}{a}+\dfrac{b^2}{a^2}}{2-\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}$

$=\dfrac{2+3(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2}{2+x_1+x_2+x_1x_2}$

$=\dfrac{2+3x_1+3x_2+x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}{2+x_1+x_2+x_1x_2}$

$\leq \dfrac{2+3x_1+3x_2+2x_1x_2+x_1x_2+4}{2+x_1+x_2+x_1x_2}$

$=3$

Vậy $\textrm{Max}\ \textrm{Q}=3.$

Dấu bằng khi $4a=-b=c$ hoặc $2a=-b, c=0.$

Edited by DarkBlood, 04-06-2014 - 21:49.