Chủ đề này có 9 trả lời

[caybutbixanh]

Cho $x,y \in \mathbb{R}$ thỏa mãn  $(x+y)^{2}+4xy\geq 2$.Tìm GTNN của $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

----------------------------------------------------------

(Trích đề tuyển sinh lớp 10)

[yeutoan2604]

Cho $x,y \in \mathbb{R}$ thỏa mãn  $(x+y)^{2}+4xy\geq 2$.Tìm GTNN của $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

----------------------------------------------------------

(Trích đề tuyển sinh lớp 10)

Ta có :

 

$(x+y)^{3}+4xy\geq 2$
$(x+y)^{2}-4xy\geq 0$
$\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0\Rightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2)\Rightarrow x+y\geq 1$
ÁP dụng BĐT Cauchy :

$\Rightarrow x^2y^2\leq \frac{(x^2+y^2)^2}{4}\Rightarrow -3x^2y^2\geq \frac{-3(x^2+y^2)^2}{4}$
$gt\Rightarrow P=3((x^2+y^2)^2-x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1\geq \frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$
Mà : $x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+2(x^{2}+y^2-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{4}.\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$
Vậy :

$\min P=\frac{9}{16}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+4xy\geq 2 & \\ x=y & \\ x^{2}+y^{2}=\frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

[NMDuc98]

Bạn chịu khó làm tương tự!

[trauvang97]

Cho $x,y \in \mathbb{R}$ thỏa mãn  $(x+y)^{2}+4xy\geq 2$.Tìm GTNN của $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

----------------------------------------------------------

(Trích đề tuyển sinh lớp 10)

 

Cho anh hỏi là đề thi vào 10 của trường nào đây em

[caybutbixanh]

Ta có :

 

$(x+y)^{3}+4xy\geq 2$
$(x+y)^{2}-4xy\geq 0$
$\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}-2\geq 0\Rightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2)\Rightarrow x+y\geq 1$
ÁP dụng BĐT Cauchy :

$\Rightarrow x^2y^2\leq \frac{(x^2+y^2)^2}{4}\Rightarrow -3x^2y^2\geq \frac{-3(x^2+y^2)^2}{4}$
$gt\Rightarrow P=3((x^2+y^2)^2-x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1\geq \frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$
Mà : $x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+2(x^{2}+y^2-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{4}.\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$
Vậy :

$\min P=\frac{9}{16}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+4xy\geq 2 & \\ x=y & \\ x^{2}+y^{2}=\frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Bạn chịu khó làm tương tự!

hhff.png

Giả sử sau này có những bài toán tương tự như thế này và có độ rắc rối cao hơn thì mình nghĩ nếu suy nghĩ theo con đường như trên sẽ không dễ. Đây là lời giải của mình.

Ta thấy vai trò của các biến là bình đẳng và xuất hiện yếu tố tổng và tích nên ta đặt $t=x^{2}+y^{2}, (t\geq 0)$

Theo giả thiết ta suy ra :

$(x+y)^{2}+4xy\leq 2.(x+y)^{2} \leq 4(x^{2}+y^{2}) \\ \Leftrightarrow 4t\geq 2\Leftrightarrow t\geq \frac{1}{2}.$

Mặt khác :$x^{2}.y^{2}\leq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}=\frac{t^{2}}{4}.(*)$

Theo biểu thức đề bài :

$P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}.y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1\\ =3.[(x^{2}+y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}]2(x^{2}+y^{2})+1\\ =3t^{2}-2t+1-3x^{2}y^{2}\Rightarrow x^{2}y^{2}=\frac{3t^{2}-2t+1-P}{3}(*;*)$

Thay (*;*) vào (*) ta được :

$\frac{3t^{2}-2t+1-P}{3}\leq \frac{t^{2}}{4}\\ \Leftrightarrow P\geq \frac{9t^{2}-8t+4}{4}\geq \frac{9}{16} \\(t\geq \frac{1}{2})$

Dấu bằng xảy ra khi $t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}\\ x=y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\pm \frac{1}{2}$

------------------------------------------

p/s: Mình nghĩ đề bài không nói rằng $x,y$ là các số không âm nên ta vẫn có thể lấy giá trị âm được.

[caybutbixanh]

Cho anh hỏi là đề thi vào 10 của trường nào đây em

Xin lỗi anh ! Em tìm thấy câu này trong một đề thi thử lớp 10 trên mạng nhưng quên không chú ý đến nguồn gốc nên em cũng không nhớ nguồn gốc nó nữa..Hình như là ngoài bắc thì phải)

[buitudong1998]

Xin lỗi anh ! Em tìm thấy câu này trong một đề thi thử lớp 10 trên mạng nhưng quên không chú ý đến nguồn gốc nên em cũng không nhớ nguồn gốc nó nữa. .Hình như là ngoài bắc thì phải)

Không phải đề lớp 10 đâu mà là đề thi đại học

Đề thi toán đại học khối B-2009

[caybutbixanh]

Không phải đề lớp 10 đâu mà là đề thi đại học

Đề thi toán đại học khối B-2009

Khác giả thiết mà bạn...................

[Yagami Raito]

không ai nhớ ak đây là MSS trận 4

Đây là lời giải của mình here

[buitudong1998]

không ai nhớ ak đây là MSS trận 4

Đây là lời giải của mình here

Nó khác giả thiết mà, cái bài đấy chính là bài ĐHKB 2009, còn bài này tương tự