Chủ đề này có 8 trả lời

[lahantaithe99]

Bài 1: Tìm các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn $p^5-q^4=(p+q)^3$

 

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm nguyên

$\left\{\begin{matrix} 2x^2=p+1 & \\ 2y^2=p^2+1 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 3: CMR không tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2010^n-1\vdots 1010^n-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 04-06-2014 - 12:06

[buitudong1998]

Bài 1: Tìm các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn $p^5-q^4=(p+q)^3$

 

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm nguyên

$\left\{\begin{matrix} 2x^2=p+1 & \\ 2y^2=p^2+1 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 3: CMR không tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2010^n-1\vdots 1010^n-1$

Bài 2:

Không mất tính tổng quát giả sử: $x,y\geqslant 0$

Từ $2x^{2}=p+1$ chẵn nên $p\neq 2$

Lại có: $2x^{2}\equiv 1\equiv 2y^{2} (mod p)\rightarrow x\equiv +-y (mod p)$

Vì $x<y<p$ nên $x+y=p$

Do đó: $\left\{\begin{matrix} p=4x-1 & & \\ 2x^{2}=4x& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ p=-1& & \end{matrix}\right.$ 

hoặc: $\left\{\begin{matrix} x=2 & & \\ p=7& & \end{matrix}\right.$

KL:$p=7$

[mnguyen99]

Bài 1: Tìm các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn $p^5-q^4=(p+q)^3$

 

 

Ta có

$p^{5}-q^{4}\vdots p+q$

$\Rightarrow q^{4}(q+1)\vdots p+q$ và $p^{4}(p-1)\vdots p+q$

+)Nếu p+q chia hết cho q+1 và p+1

-p+q$\vdots q+1\Rightarrow p-1\vdots q+1$

-$p+q\vdots p-1\Rightarrow q+1\vdots p-1$

nên p=q+2

Mà $q^{4}(q-1)\vdots p+q\Rightarrow q^{4}(q+1)\vdots 2q+2$

$\Rightarrow q^{4}\vdots 2$

NÊn q=2 vô lí

+)NẾu điều trên ko đúng.

ko mất tính tổng quát đặt $q^{4}\vdots p+q$

$\Rightarrow q^{4}-ap\vdots q\Rightarrow a\vdots q\Rightarrow a=bq$

ta có $q^{3}=bp+bq$

làm như vậy cho đến khi $q=pd+qd$ vô lí Vậy pt vô nghiệm.

[buitudong1998]

Ta có

$p^{5}-q^{4}\vdots p+q$

$\Rightarrow q^{4}(q+1)\vdots p+q$ và $p^{4}(p-1)\vdots p+q$

+)Nếu p+q chia hết cho q+1 và p+1

-p+q$\vdots q+1\Rightarrow p-1\vdots q+1$

-$p+q\vdots p-1\Rightarrow q+1\vdots p-1$

nên p=q+2

Mà $q^{4}(q-1)\vdots p+q\Rightarrow q^{4}(q+1)\vdots 2q+2$

$\Rightarrow q^{4}\vdots 2$

NÊn q=2 vô lí

+)NẾu điều trên ko đúng.

ko mất tính tổng quát đặt $q^{4}\vdots p+q$

$\Rightarrow q^{4}-ap\vdots q\Rightarrow a\vdots q\Rightarrow a=bq$

ta có $q^{3}=bp+bq$

làm như vậy cho đến khi $q=pd+qd$ vô lí Vậy pt vô nghiệm.

$p=q=3$ là nghiệm mà

[DarkBlood]

Ta có

$p^{5}-q^{4}\vdots p+q$

$\Rightarrow q^{4}(q+1)\vdots p+q$ và $p^{4}(p-1)\vdots p+q$

+)Nếu p+q chia hết cho q+1 và p+1

-p+q$\vdots q+1\Rightarrow p-1\vdots q+1$

-$p+q\vdots p-1\Rightarrow q+1\vdots p-1$

nên p=q+2

Mà $q^{4}(q-1)\vdots p+q\Rightarrow q^{4}(q+1)\vdots 2q+2$

$\Rightarrow q^{4}\vdots 2$

NÊn q=2 vô lí

+)NẾu điều trên ko đúng.

ko mất tính tổng quát đặt $q^{4}\vdots p+q$

$\Rightarrow q^{4}-ap\vdots q\Rightarrow a\vdots q\Rightarrow a=bq$

ta có $q^{3}=bp+bq$

làm như vậy cho đến khi $q=pd+qd$ vô lí Vậy pt vô nghiệm.

Chỗ này là sao vậy? Mình chưa hiểu lắm.

[mnguyen99]

$p=q=3$ là nghiệm mà

 

$p=q=3$ là nghiệm mà

 

Chỗ này là sao vậy? Mình chưa hiểu lắm.

p=q=3 ko phải là nghiệm mà .

Cách làm trên áp dụng với p khác q.Khi p=q cũng giải vô nghiêm.

$p^{5}+q^{5}-q^{5}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow q^{5}+q^{4}\vdots p+q$

$p^{5}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow p^{5}-p^{4}+p^{4}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow p^{5}-p^{4}\vdots p+q$

[DarkBlood]

p=q=3 ko phải là nghiệm mà .

Cách làm trên áp dụng với p khác q.Khi p=q cũng giải vô nghiêm.

$p^{5}+q^{5}-q^{5}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow q^{5}+q^{4}\vdots p+q$

$p^{5}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow p^{5}-p^{4}+p^{4}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow p^{5}-p^{4}\vdots p+q$

$p^5-q^5 \not{\vdots}\ (p+q)$ mà :-? $a^n-b^n\ \vdots (a+b)$ với $n$ chẵn thôi mà.

[buitudong1998]

p=q=3 ko phải là nghiệm mà .

Cách làm trên áp dụng với p khác q.Khi p=q cũng giải vô nghiêm.

$p^{5}+q^{5}-q^{5}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow q^{5}+q^{4}\vdots p+q$

$p^{5}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow p^{5}-p^{4}+p^{4}-q^{4}\vdots p+q\Rightarrow p^{5}-p^{4}\vdots p+q$

Bạn cố chấp nhỉ

$3^{5}-3^{3}=6^{3}$

[mnguyen99]

Bạn cố chấp nhỉ

$3^{5}-3^{3}=6^{3}$

NHầm đề rồi 

nếu đúng là $3^{5}-3^{4}=6^{3}$ vô lí

 

$p^5-q^5 \not{\vdots}\ (p+q)$ mà :-? $a^n-b^n\ \vdots (a+b)$ với $n$ chẵn thôi mà.

$p^{5}+q^{5}\vdots p+q\Rightarrow -q^{5}-q^{4}\vdots p+q$