2 replies to this topic

[Hoang Tung 126]

Tìm tất cả các hàm $f:N\rightarrow N$ thỏa mãn :

 $\left\{\begin{matrix} f(n+1)> f(n)& \\ f(f(n)) =n+2004& \end{matrix}\right.$

[dkhanhht98]

Ta có nhận xét
$$f(m)-f(n)\ge m-n$$.
Nếu $f(n)>n+1002$ thì $n+2004=f(f(n)) >f(n+1002)$. Khi đó $f(n+1002)-f(n)<1002$, trái với nhận xét.
Nếu $f(n)<n+1002$, tương tự.

Edited by dkhanhht98, 04-06-2014 - 23:47.

[shinichigl]

Từ giả thiết $f(n)<f(n+1)$, $\forall n\in \mathbb{N}$, ta suy ra được $f(x)<f(y)$, $\forall x<y$ ($x,y\in \mathbb{N}$)

Cũng từ giả thiết $f(n)<f(n+1)$, $\forall n\in \mathbb{N}$, ta suy ra $f(n)+1\leq f(n+1)$, $\forall n\in \mathbb{N}$

Ta giả sử $f(n)+1< f(n+1)$, $\forall n\in \mathbb{N}$ (1)

Thay $n$ bởi $f(n)$ vào (1) ta có $f(f(n))+1< f(f(n)+1)<f(f(n+1))$, $\forall n\in \mathbb{N}$ (2)

Mặt khác

Thay $n$ bởi $n+1$ vào giả thiết $f(f(n))=n+2004$, $\forall n\in \mathbb{N}$ ta có $f(f(n+1))=n+2005$, $\forall n\in \mathbb{N}$

Suy ra $f(f(n+1))-f(f(n))=1$, $\forall n\in \mathbb{N}$ hay $f(f(n+1))=f(f(n))+1$, $\forall n\in \mathbb{N}$ (3)

Từ (2) và (3) ta thấy mâu thuẫn, suy ra $f(n)+1=f(n+1)$, $\forall n\in \mathbb{N}$ (4)

Từ (4) bằng chứng minh quy nạp ta dễ dàng thu được $f(n)=n+f(0)$, $\forall n\in \mathbb{N}$ (5)

Thay (5) vào giả thiết $f(f(n))=n+2004$, $\forall n\in \mathbb{N}$, ta tìm được $f(n)=n+1002$, $\forall n\in \mathbb{N}$

Vậy hàm số cần tìm là $f(n)=n+1002$, $\forall n\in \mathbb{N}$