Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=1$

Tìm GTLN của biểu thức:

$M=\sum \sqrt{a^2+abc}+9\sqrt{abc}$

[nghiemthanhbach]

Đánh giá bất đẳng thức, kết hợp sử dụng bất đẳng thức cauchy và AM-GM

 

$\sqrt{a^2+abc}=\sqrt{a(a+bc)}=\frac{\sqrt{\frac{4}{3}.a(a+bc)}}{\sqrt{\frac{4}{3}}}\leq \frac{\frac{4}{3}a+a+bc}{2\sqrt{\frac{4}{3}}}\Leftrightarrow \sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}\leq \frac{\frac{7}{3}(a+b+c)+ab+bc+ca}{2\sqrt{\frac{4}{3}}}\leq \frac{\frac{7}{3}(a+b+c)+\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2\sqrt{\frac{4}{3}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow M=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9\sqrt{abc}\leq \frac{2}{\sqrt{3}}+9\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{27}}=\frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

   

p/s: Học Tốt nhé