Chủ đề này có 3 trả lời

[Dam Uoc Mo]

$CMR: \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}+.....+\frac{1}{1000\sqrt[3]{999}}<\frac{27}{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 10-06-2014 - 09:19

[megamewtwo]

$CMR: \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}+.....+\frac{1}{1000\sqrt[3]{999}}<\frac{27}{10}$

Xét số hạng tổng quát

Điều cần CM tương đương với:$\frac{1}{\left ( k+1 \right )\sqrt[3]{k}}< 3\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{k}}-\frac{1}{\sqrt[3]{k+1}} \right )\Leftrightarrow k+1-\sqrt[3]{k\left ( k+1 \right )^{2}}\geq \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \left ( k+\frac{2}{3} \right )^{3}> \left ( \sqrt[3]{k\left ( k+1 \right )^{2}} \right )^{3}\Leftrightarrow 9k+8> 0$(luôn đúng)

Chắc sẽ có cách hay hơn thế này  

[hoctrocuaZel]

$CMR: \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}+.....+\frac{1}{1000\sqrt[3]{999}}<\frac{27}{10}$

Cách khác, có vẻ thông dụng hơn :v

Có công thức tổng quát nè:

$\frac{1}{(k+1)\sqrt[3]{k}}=\frac{\sqrt[3]{k}}{k(k+1)}=\sqrt[3]{k}.(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt[3]{k}.(\frac{1}{\sqrt[3]{k}}-\frac{1}{\sqrt[3]{k+1}})(\frac{1}{\sqrt[3]{k^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{k(k+1)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{(k+1)^2}})<3.(\frac{1}{\sqrt[3]{k}}-\frac{1}{\sqrt[3]{k+1}})$

Rồi áp dụng, nhỉ?! :v

[thinhrost1]

Cách khác, có vẻ thông dụng hơn :v

Có công thức tổng quát nè:

$\frac{1}{(k+1)\sqrt[3]{k}}=\frac{\sqrt[3]{k}}{k(k+1)}=\sqrt[3]{k}.(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt[3]{k}.(\frac{1}{\sqrt[3]{k}}-\frac{1}{\sqrt[3]{k+1}})(\frac{1}{\sqrt[3]{k^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{k(k+1)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{(k+1)^2}})<3.(\frac{1}{\sqrt[3]{k}}-\frac{1}{\sqrt[3]{k+1}})$

Rồi áp dụng, nhỉ?! :v

Có nhầm k vậy?

$\frac{1}{(k+1)\sqrt[3]{k}} \neq \frac{\sqrt[3]{k}}{k(k+1)}$ Mà