Chủ đề này có 3 trả lời

[chieckhantiennu]

Cho các số thực $a,b,c>0$ thoả mản $ab+bc+ca=1$.

CMR:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{512}$

[NDP]

Cho các số thực $a,b,c>0$ thoả mản $ab+bc+ca=1$.

CMR:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{512}$

Lời giải

Ta có:

$\frac{a}{(3b+5c)^{3}}+\frac{9a(3b+5c)}{4096}+\frac{9a(3b+5c)}{4096}+\frac{9a(3b+5c)}{4096}\geq 4a\sqrt[4]{\frac{9^{3}}{4096^{3}}}$

Thiết lập tương tự ta có

$\begin{cases} & \text{ } \frac{a}{(3b+5c)^{3}}\geq 4a\sqrt[4]{\frac{9^{3}}{4096^{3}}}-\frac{27}{4096}(3ab+5ac) \\ & \text{ } \frac{b}{(3c+5a)^{3}}\geq 4b\sqrt[4]{\frac{9^{3}}{4096^{3}}}-\frac{27}{4096}(3ac+5ab) \\ & \text{ } \frac{c}{(3a+5b)^{3}}\geq 4c\sqrt[4]{\frac{9^{3}}{4096^{3}}}-\frac{27}{4096}(3ac+5cb) \end{cases}$

Do đo VT$_{dt}$$\geq 4\sqrt[4]{\frac{9^{3}}{4096^{3}}}(a+b+c)-\frac{27}{512}\geq 4\sqrt[4]{\frac{9^{3}}{4096^{3}}}\sqrt{3(ab+bc+ca)}-\frac{27}{512}=\frac{9}{512}$

Kết thức chứng minh dấu '=' xẩy ra khi a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$

[nguyenhongsonk612]

Cho các số thực $a,b,c>0$ thoả mản $ab+bc+ca=1$.

CMR:

$P= \frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{512}$

Một cách khác.

Giải:

Áp dụng BĐT S-vác, ta có:

$P=\frac{(\frac{a}{3b+5c})^2}{3ab+5ac}+\frac{(\frac{b}{3c+5a})^2}{3bc+5ab}+\frac{(\frac{c}{3a+5b})^2}{3ca+5bc}\geq \frac{(\frac{a}{3b+5c}+\frac{b}{3c+5a}+\frac{c}{3a+5b})^2}{8}$

Lại có:

$\frac{a}{3b+5c}+\frac{b}{3c+5a}+\frac{c}{3a+5b}= \frac{a^2}{3ab+5ac}+\frac{b^2}{3bc+5ca}+\frac{c^2}{3ca+5bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{8}\geq \frac{3}{8}$

$\Rightarrow P\geq \frac{(\frac{3}{8})^2}{8}= \frac{9}{512}$.

Dấu "=" khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[megamewtwo]

Cho các số thực $a,b,c>0$ thoả mản $ab+bc+ca=1$.

CMR:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{512}$

Bài này cũng có thể dùng HOLDER

Ta có: $\left ( \sum \frac{a}{\left ( 3b+5c \right )^{2}} \right )\left ( \sum a\left ( 3b+5c \right ) \right )\left ( \sum a\left ( 3b+5c \right )^{2} \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{3}$

nên điều phải CM $\Leftrightarrow \frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{\left ( \sum a\left ( 3b+5c \right )^{2} \right )\left ( \sum a\left ( 3b+5c \right ) \right )}\geq \frac{9}{512}\Leftrightarrow 64\left ( a+b+c \right )^{3}\geq 9\sum a\left ( 3b+5c \right )^{2}\Leftrightarrow 64\left ( \sum a^{3} \right )+111\left ( \sum ab^{2} \right )\geq 33\sum a^{2}b+426abc$

Mà $\sum ab^{2}\geq 3abc\Rightarrow 111\sum ab^{2}\geq 333abc$    (1)

$\sum a^{3}\geq \sum a^{2}b\Leftrightarrow 33\sum a^{3}\geq 33\sum a^{2}b$    (2)

$\sum a^{3}\geq 3abc\Leftrightarrow 31\sum a^{3}\geq 93\sum abc$                 (3)

(1)+(2)+(3)$\Rightarrow$ Đpcm 

mình nghĩ đây là đề bài "chế" nên không chặt lắm