Câu 1 (2 điểm).
Cho b > a > 0. Xét biểu thức:
a) Rút gọn P.
b) Biết (a − 1)(b − 1)+ 2√ab = 1, hãy tính giá trị của biểu thức P.
Câu 2 (2 điểm).
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y = (m + 5)x − m với m là tham số.
a) Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là các giao điểm của d và (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x1 − x2|.
Câu 3 (2 điểm).
Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A, B cách nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,5 giờ. Hỏi sau khi gặp nhau bao lâu thì ô tô đến B và xe máy đến A, biết rằng vận tốc của xe máy bằng hai phần ba vận tốc của ô tô.
Câu 4 (3 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB < AC. Gọi H là hình chiếu của A trên BC và M là điểm đối xứng của H qua AB. Tia MC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại điểm P (P ≠ M). Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác APC tại điểm N (N ≠ P).
a) Chứng minh rằng HN = MC.
b) Gọi E là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC. Chứng minh rằng EN song song với BC.
c) Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác APC. Chứng minh rằng H là trung điểm của BK.
Câu 5 (1 điểm).
Cho x, y là các số thực khác 0 và thoả mãn:
Tính giá trị của biểu thức S = x + y.