Chủ đề này có 3 trả lời

[giotsuongvachiecla]

cho $a+b>0$. chứng minh: $\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+ b^{n}}{2}$

[Messi10597]

Với n=1hoặc n=2 thì BĐT luôn đúng

Giả sử đpcm đúng đến n=k tức là $\frac{a^{k}+b^{k}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{k}$

Ta chứng minh đpcm đúng đến n=k+1 tức là phải chứng minh: 

$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{k+1}$

Thật vậy ta có:

$\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{k+1}\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( \frac{a^{k}+b^{k}}{2} \right )$

cần chứng minh $\left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( \frac{a^{k}+b^{k}}{2} \right )\leq \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\Leftrightarrow (a-b)(a^{k}-b^{k})\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

[giotsuongvachiecla]

ta có thể sử dụng định lí hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức này không?

[Phuong Thu Quoc]

cho $a+b>0$. chứng minh: $\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+ b^{n}}{2}$

Với trường hợp riêng này có thể dùng BĐT Bernoulli để chứng minh

Ta có $\left ( 1+\frac{a-b}{a+b} \right )^{n}\geq 1+n.\frac{a-b}{a+b}$

          $\left ( 1-\frac{a-b}{a+b} \right )^{n}\geq 1-n.\frac{a-b}{a+b}$

Cộng hai BĐT trên ta thu được BĐT đầu bài.