cho $a+b>0$. chứng minh: $\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+ b^{n}}{2}$
cho $a+b>0$. chứng minh: $\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+ b^{n}}{2}$
#1
Đã gửi 12-06-2014 - 15:09
#2
Đã gửi 12-06-2014 - 16:20
Với n=1hoặc n=2 thì BĐT luôn đúng
Giả sử đpcm đúng đến n=k tức là $\frac{a^{k}+b^{k}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{k}$
Ta chứng minh đpcm đúng đến n=k+1 tức là phải chứng minh:
$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{k+1}$
Thật vậy ta có:
$\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{k+1}\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( \frac{a^{k}+b^{k}}{2} \right )$
cần chứng minh $\left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( \frac{a^{k}+b^{k}}{2} \right )\leq \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\Leftrightarrow (a-b)(a^{k}-b^{k})\geq 0$ (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
- giotsuongvachiecla yêu thích
#3
Đã gửi 13-06-2014 - 16:26
ta có thể sử dụng định lí hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức này không?
#4
Đã gửi 13-06-2014 - 17:26
cho $a+b>0$. chứng minh: $\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}\leq \frac{a^{n}+ b^{n}}{2}$
Với trường hợp riêng này có thể dùng BĐT Bernoulli để chứng minh
Ta có $\left ( 1+\frac{a-b}{a+b} \right )^{n}\geq 1+n.\frac{a-b}{a+b}$
$\left ( 1-\frac{a-b}{a+b} \right )^{n}\geq 1-n.\frac{a-b}{a+b}$
Cộng hai BĐT trên ta thu được BĐT đầu bài.
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh