Cho số nguyên a . Chứng minh rằng pt
\[{x^4} - 7{x^3} + (a + 2){x^2} - 11x + a = 0\]
không thể có nhiều hơn 1 nghiệm nguyên
\[{x^4} - 7{x^3} + (a + 2){x^2} - 11x + a = 0\]
Bắt đầu bởi phamxuanvinh08101997, 12-06-2014 - 15:52
#1
Đã gửi 12-06-2014 - 15:52
phamxuanvinh08101997
-
- Thành viên
-
- 141 Bài viết
Trung sĩ
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
#2
Đã gửi 13-06-2014 - 13:13
banhgaongonngon
-
- Thành viên
-
- 1046 Bài viết
Thượng úy
Cho số nguyên a . Chứng minh rằng pt\[{x^4} - 7{x^3} + (a + 2){x^2} - 11x + a = 0\]không thể có nhiều hơn 1 nghiệm nguyên
Đặt $f\left ( x \right )=x^{4}-7x^{3}+(a+2)x^{2}-11x+a$
Ta thấy $f\left ( x \right )$ lẻ $\forall x$ lẻ nên nếu phương trình $f(x)=0$ có nghiệm nguyên $x_{0}$ thì $x_{0}$ chẵn
Giả sử phương trình $f\left ( x \right )=0$ có hai nghiệm nguyên $x_{1}\neq x_{2}$
Ta có
$0=\frac{f\left ( x_{1} \right )-f\left ( x_{2} \right )}{x_{1}-x_{2}}$
$=-4x_{1}x_{2}\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )+6x_{1}^{2}x_{2}^{2}-7\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2} \right )+(a+2)\left ( x_{1}+x_{2} \right )-11$
Đẳng thức trên là vô lí vì $x_{1},x_{2}$ là các số nguyên chẵn nên vế phải là số lẻ
Vậy phương trình $f(x)=0$ không thể có quá một nghiệm nguyên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 13-06-2014 - 13:16
- phamxuanvinh08101997 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
