Chủ đề này có 2 trả lời

[chieckhantiennu]

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ca=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3} \geq \frac{3}{4}$

 

[megamewtwo]

Ta có : $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\sum \frac{a+b}{8}+\sum \frac{b+c}{8}= \sum \frac{a^{3}}{\left ( b+a \right )\left ( b+c \right )}+\sum \frac{a+b}{8}+\sum \frac{b+c}{8}\geq \frac{3\left ( a+b+c \right )}{4}\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{\left ( b+a \right )\left ( b+c \right )}\geq \frac{a+b+c}{4}\geq \frac{3}{4}$

       

[BysLyl]

 

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ca=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3} \geq \frac{3}{4}$

$\frac{a^{3}}{b^{2}+3}=\frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}$

Áp dụng Cô si:

$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+a}{8}+\frac{c+a}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{64}}=\frac{3a}{4}$

Cm tương tự  $\Rightarrow VT\geq 2(\frac{a+b+c}{4})=\frac{a+b+c}{2}$$\frac{a}{4}$

$(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow a+b+c\geq 3\Rightarrow VT\geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BysLyl: 12-06-2014 - 20:53