3 replies to this topic

[banhgaongonngon]

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng

 

$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$

[Dam Uoc Mo]

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng

 

$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$

 

Có: $\frac{x}{x}+\frac{x}{y}\geq \frac{4x}{x+y}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1\geq \frac{4x}{x+y}\Rightarrow 2(\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{x}{y}+3\geq \sum \frac{4x}{x+y}\Rightarrow (\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{2x}{x+y}$

Tương tự với cái còn lại rồi suy ra ĐPCM.

Edited by Dam Uoc Mo, 13-06-2014 - 17:07.

[banhgaongonngon]

Có: $\frac{x}{x}+\frac{x}{y}\geq \frac{4x}{x+y}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1\geq \frac{4x}{x+y}\Rightarrow 2(\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{x}{y}+3\geq \sum \frac{4x}{x+y}\Rightarrow (\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{2x}{x+y}$

Tương tự với cái còn lại rồi suy ra ĐPCM.

 

Trường hợp sau không tương tự được đâu nha em. Em thử chứng minh xem

[Nguyen Huy Tuyen]

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng

 

$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$

 

 

Có: $\frac{x}{x}+\frac{x}{y}\geq \frac{4x}{x+y}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1\geq \frac{4x}{x+y}\Rightarrow 2(\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{x}{y}+3\geq \sum \frac{4x}{x+y}\Rightarrow (\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{2x}{x+y}$

Tương tự với cái còn lại rồi suy ra ĐPCM.

 

Trường hợp sau không tương tự được đâu nha em. Em thử chứng minh xem

Hẳn là vậy, nhưng nó có thể dựa vào phần chứng minh trước ^^
Nếu $x\geqslant y\geqslant z$ Ta có :
$\sum \frac{x}{x+y}-\sum \frac{y}{x+y}=\frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geqslant 0$
Suy ra $\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$

Nếu $z\geqslant y\geqslant x$ Ta có:
$\sum \frac{x}{y}- 2\sum \frac{y}{x+y} =\sum \frac{(x-y)^2z}{xy(x+z)(y+z)}+\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x(y+z)}$

Ta thấy $\sum \frac{(x-y)^2z}{xy(x+z)(y+z)}\geqslant 0$
Đồng thời  $\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x(y+z)}=\frac{(z-x)(z-y)}{z(x+y)}+(y-x)(z(\frac{1}{x(y+z)}-\frac{1}{y(x+z)})+\frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z})\geqslant 0$
( Vì $z\geqslant y\geqslant x$ )