Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng
$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$
Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng
$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$
Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng
$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$
Có: $\frac{x}{x}+\frac{x}{y}\geq \frac{4x}{x+y}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1\geq \frac{4x}{x+y}\Rightarrow 2(\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{x}{y}+3\geq \sum \frac{4x}{x+y}\Rightarrow (\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{2x}{x+y}$
Tương tự với cái còn lại rồi suy ra ĐPCM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 13-06-2014 - 17:07
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
Có: $\frac{x}{x}+\frac{x}{y}\geq \frac{4x}{x+y}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1\geq \frac{4x}{x+y}\Rightarrow 2(\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{x}{y}+3\geq \sum \frac{4x}{x+y}\Rightarrow (\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{2x}{x+y}$
Tương tự với cái còn lại rồi suy ra ĐPCM.
Trường hợp sau không tương tự được đâu nha em. Em thử chứng minh xem
Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng
$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$
Có: $\frac{x}{x}+\frac{x}{y}\geq \frac{4x}{x+y}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1\geq \frac{4x}{x+y}\Rightarrow 2(\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{x}{y}+3\geq \sum \frac{4x}{x+y}\Rightarrow (\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{2x}{x+y}$
Tương tự với cái còn lại rồi suy ra ĐPCM.
Trường hợp sau không tương tự được đâu nha em. Em thử chứng minh xem
Hẳn là vậy, nhưng nó có thể dựa vào phần chứng minh trước ^^
Nếu $x\geqslant y\geqslant z$ Ta có :
$\sum \frac{x}{x+y}-\sum \frac{y}{x+y}=\frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geqslant 0$
Suy ra $\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$
Nếu $z\geqslant y\geqslant x$ Ta có:
$\sum \frac{x}{y}- 2\sum \frac{y}{x+y} =\sum \frac{(x-y)^2z}{xy(x+z)(y+z)}+\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x(y+z)}$
Ta thấy $\sum \frac{(x-y)^2z}{xy(x+z)(y+z)}\geqslant 0$
Đồng thời $\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x(y+z)}=\frac{(z-x)(z-y)}{z(x+y)}+(y-x)(z(\frac{1}{x(y+z)}-\frac{1}{y(x+z)})+\frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z})\geqslant 0$
( Vì $z\geqslant y\geqslant x$ )
Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh