Chủ đề này có 1 trả lời

[vuhieu258]

Cho $a,b,c>0;18(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=6(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2014$
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuhieu258: 14-06-2014 - 16:42

[hoangson2598]

Ta có:

$\sqrt{5a^2+2ab+b^2}=\sqrt{(a-b)^2+(2a+b)^2}\geq 2a+b$ Suy ra:

$Q\leq \sum \frac{1}{2a+b}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Mà từ đề bài ta có: 

$18(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=6(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+2014\Leftrightarrow 18(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=42(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc})+2014\leq 14(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+2014\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{\sqrt{2014}}{2}$

Suy ra $P\leq \frac{\sqrt{2014}}{6}$