Chủ đề này có 9 trả lời

[VuDucTung]

Bài 1:Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn :a+b+c=4.Chứng minh:

                                      $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$

Bài 2:Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.Chứng minh:

                                      $\sum \sqrt{x+y^2}\geq 2$

Bài 3:Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn:x+y+z=1.Chứng minh

                                     :$\sum \sqrt[3]{x-y+z^3}\leq 1$

Bài 4:Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:a+b+c=3.Chứng minh:

                                      $\sum (3a^2+bc+3b^2)\leq 900$

Bài 5:Cho các số không âm:a,b,c thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

                                     a,$a^2b+b^2c+c^2a\leq 2+abc$

                                     b,$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 16-06-2014 - 20:39

[nguyenhongsonk612]

Bài 1:Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn :a+b+c=4.Chứng minh:

                                      $A= a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4

Có lẽ giả thiết phải là $a+b+c=3$

Lời giải:

Giả sử $b \leq a \leq c$

$\Rightarrow b(a-b)(a-c)\leq 0$

$\Rightarrow A\leq ab^2+2abc+c^2a=a(b+c)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)\leq \frac{1}{2}.\frac{[2(a+b+c)]^3}{27}= 4$ ($AM-GM$ cho 3 số)

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=0;b=2;c=1$ và các hoán vị.

[nguyenhongsonk612]

Bài 2:Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.Chứng minh:

                                      $P= \sum \sqrt{x+y^2}\geq 2$

Lời giải:

Ta có: $\sum \sqrt{x+y^2}= \sum \sqrt{x(x+y+z)+y^2}= \sum \sqrt{x^2+y^2+xy+xz}$

Giả sử $z \leq x$, $z \leq y$

$\Rightarrow x(x-z)(y-z)(x+y+z)\geq 0$

$\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+xy+yz}\geq x+y+\sqrt{y^2+z^2+xz+yz}=x+y+\sqrt{y^2+z}$

$\Rightarrow A\geq x+y+\sqrt{y^2+z}+\sqrt{x^2+z}\geq x+y+\sqrt{(x+y)^2+4z}=x+y+\sqrt{(1-z)^2+4z}= x+y+ \sqrt{(z+1)^2}=x+y+z+1=2$ 

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=0;y=0;z=1$ và các hoán vị

[vietleorg]

$\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+xy+yz}\geq x+y+\sqrt{y^2+z^2+xz+yz}=x+y+\sqrt{y^2+z}$

xl đoạn này mình ko hiểu

[nguyenhongsonk612]

xl đoạn này mình ko hiểu

là như thế này

$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+xy+yz}\geq \sqrt{x^2+y^2+xy+xy}+\sqrt{y^2+z^2+xz+yz}$

[vietleorg]

là như thế này

$\sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+xy+yz}\geq \sqrt{x^2+y^2+xy+xy}+\sqrt{y^2+z^2+xz+yz}$

$z \leq x$ mà làm sao có dc

[nguyenhongsonk612]

$z \leq x$ mà làm sao có dc

Bình phương 2 vế và đưa về dạng:

$\Rightarrow x(x-z)(y-z)(x+y+z)\geq 0$

[vietleorg]

Lời giải:

Ta có: $\sum \sqrt{x+y^2}= \sum \sqrt{x(x+y+z)+y^2}= \sum \sqrt{x^2+y^2+xy+xz}$

Giả sử $z \leq x$, $z \leq y$

$\Rightarrow x(x-z)(y-z)(x+y+z)\geq 0$

$\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+xy+xz}+\sqrt{y^2+z^2+xy+yz}\geq x+y+\sqrt{y^2+z^2+xz+yz}=x+y+\sqrt{y^2+z}$

$\Rightarrow A\geq x+y+\sqrt{y^2+z}+\sqrt{x^2+z}\geq x+y+\sqrt{(x+y)^2+4z}=x+y+\sqrt{(1-z)^2+4z}= x+y+ \sqrt{(z+1)^2}=x+y+z+1=2$ 

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=0;y=0;z=1$ và các hoán vị

Xin lỗi mình có thể hỏi về ý tưởng của bạn dc ko? tại sao bạn lại nghĩ ra $x(x-z)(y-z)(x+y+z)\geq 0$ mà ko phải bdt nào khác?    đây có phải là phương pháp hay mẹo giải toán nào ko? cảm ơn c trước nhé 

[nguyenhongsonk612]

Xin lỗi mình có thể hỏi về ý tưởng của bạn dc ko? tại sao bạn lại nghĩ ra $x(x-z)(y-z)(x+y+z)\geq 0$ mà ko phải bdt nào khác?    đây có phải là phương pháp hay mẹo giải toán nào ko? cảm ơn c trước nhé 

Có lẽ bạn nên đọc cái này!  

File gửi kèm

•  Phương pháp chuyển vị BĐT.pdf   171.55K   51 Số lần tải

[khanghaxuan]

Bài 1:Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn :a+b+c=4.Chứng minh:

                                      $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$

Bài 2:Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.Chứng minh:

                                      $\sum \sqrt{x+y^2}\geq 2$

Bài 3:Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn:x+y+z=1.Chứng minh

                                     :$\sum \sqrt[3]{x-y+z^3}\leq 1$

Bài 4:Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:a+b+c=3.Chứng minh:

                                      $\sum (3a^2+bc+3b^2)\leq 900$

Bài 5:Cho các số không âm:a,b,c thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

                                     a,$a^2b+b^2c+c^2a\leq 2+abc$

                                     b,$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\leq 3$

phải là tích chứ sao là tổng hả bạn !