Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c+a}}$
Tìm GTNN của $P=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}$
#1
Posted 17-06-2014 - 10:21
#2
Posted 17-06-2014 - 10:30
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c+a}}$
Áp dụng BĐT Mincopski ta có $A\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sqrt{\frac{1}{a+b}}+\sqrt{\frac{1}{b+c}}+\sqrt{\frac{1}{c+a}})^{2}}\geq \sqrt{36+(3\sqrt[6]{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}})^{2}}= \sqrt{36+\frac{9}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}}\geq \sqrt{36+\frac{9}{\frac{2(a+b+c)}{3}}}=\sqrt{36+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$
Min A=$\frac{3\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=2$
- buiminhhieu, hoangmanhquan, mnguyen99 and 2 others like this
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users