8 replies to this topic

[yeutoan2604]

Cho x,y,z là các số dương. Tìm Max $A=\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)}$

[Dam Uoc Mo]

Cho x,y,z là các số dương. Tìm Max $A=\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)}$

$3A\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}+3xyz\sqrt{\sum x^{2}}}{(\sum x^{2})(\sum xy)}=\frac{\sum xy}{\sum x^{2}}+\frac{3xyz}{\sqrt{\sum x^{2}}(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{(\sum x)(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}=1+\sqrt{3}.$

[yeutoan2604]

$3A\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}+3xyz\sqrt{\sum x^{2}}}{(\sum x^{2})(\sum xy)}=\frac{\sum xy}{\sum x^{2}}+\frac{3xyz}{\sqrt{\sum x^{2}}(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{(\sum x)(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}=1+\sqrt{3}.$

chỗ này làm kiểu gì

[Dam Uoc Mo]

chỗ này làm kiểu gì

BĐT quen thuộc $3xyz(x+y+z)\leq (\sum xy)^{2}$.

[cunshockbaby]

Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được

$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow  xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$

Do đó:  $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$ 

$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$

Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2})  \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$

=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.

Edited by cunshockbaby, 17-06-2014 - 13:02.

[cunshockbaby]

$3A\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}+3xyz\sqrt{\sum x^{2}}}{(\sum x^{2})(\sum xy)}=\frac{\sum xy}{\sum x^{2}}+\frac{3xyz}{\sqrt{\sum x^{2}}(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{(\sum x)(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}=1+\sqrt{3}.$

Chỗ đỏ phải là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

Edited by cunshockbaby, 17-06-2014 - 13:20.

[yeutoan2604]

Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được

$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow  xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$

Do đó:  $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$ 

$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$

Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2})  \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$

=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.

Bạn ở Thanh Hóa à

[shinichikudo201]

Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được

$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow  xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$

Do đó:  $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$ 

$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$

Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2})  \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$

=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.

Toán chung Lam sơn à....

[shinichikudo201]

Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được

$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow  xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$

Do đó:  $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$ 

$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$

Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2})  \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$

=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.

Đáp án lại ra $\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}$. Không hiểu tại sao.