Chủ đề này có 5 trả lời

[firesidecake]

Cho a, b, c $>$0, chứng minh $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

[buitudong1998]

Cho a, b, c $>$0, chứng minh $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Theo Cauchy-Schwartz và Nesbitt:

$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geqslant \frac{9}{4}\Rightarrow (DPCM)$

[lahantaithe99]

Cho a, b, c $>$0, chứng minh $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

BĐT cần chứng minh

 

 $\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2})\geqslant \frac{9}{4}$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

$(a+b+c)(\sum \frac{a}{(b+c)^2})\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geqslant \frac{3^2}{2^2}=\frac{9}{4}$

 

(BĐT Nesbit)

 

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 17-06-2014 - 21:02

[I Love MC]

Có $(a+b+c).(\sum \frac{a}{(b+c)^2}) \ge (\sum \frac{a}{b+c})^2$ 
Theo bất đẳng thức Nesbitt $\sum \frac{a}{b+c} \ge \frac{3}{2}$ 
$\rightarrow VT.(a+b+c) \ge \frac{9}{4}$

[megamewtwo]

Ta có : $\left ( a+b+c \right )\left ( \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}} \right )= \sum \frac{a}{b+c}+\sum \frac{a^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}+\sum \frac{a^{2}}{2\left ( b^{2}+c^{2} \right )}\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$

[hoctrocuanewton]

Cho a, b, c $>$0, chứng minh $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

Áp dụng BĐT schwars ta có :

$\sum \frac{a}{b+c}= \sum \frac{a^{2}}{ab+ac}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có :

$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}= \sum \frac{(\frac{a}{b+c})^{2}}{a}\geqslant \frac{(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})^{2}}{a+b+c}\geqslant \frac{9}{4(a+b+c)}$

Vậy ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 18-06-2014 - 13:06