Chủ đề này có 3 trả lời

[tretho97]

cho p là số nguyên tố dạng $4k+3$ và các số nguyên $a;b;c;d$ thỏa mãn $a^{2p}+b^{2p}+c^{2p}=d^{2p}$.c/m: $abcd \vdots p$

[iamnhl]

 Nhận xét p^2 |abcd

 Bổ đề 1: cho p nguyên tố lẻ có dạng 4k+3,a,b sao cho p| a^2+b^2 thì $ v_p(a^2+b^2)$ chẵn

 

Bổ đề 2: cho a là số nguyên dương dạng  4k+3 thì tồn tại p nguyên tố dạng 4k+3 là ước của a và 

 $v_p(a)$ lẻ

 

Nếu (a,b,c,d)=x thì ($\frac{a}{x}$,$\frac{b}{x}$,$\frac{c}{x}$,$\frac{d}{x}$) là nghiệm thoả mãn.

vì vậy k mất tính tổng quát,giả sử (a,b,c,d)=1

 Ta xét các th sau:

Th1;a,b,c đều lẻ thì d lẻ

vế trai biẻu thức đồng dư vs 3 mod 4 còn vế phải đồng dư vs1 mod 4 nên mt

Th2:a,b,c đều chẵn nên t chẵn nên (a,b,c,d)>1 nên mt

Th3:trong số a,b,c có 1 số chẵn,2 số lẻ thì t chẵn.

vế trái đồng dư 2 mod 4,vế phải đồng dư 0 mod 4 nên mt

Th4: trong 3 số a,b,c có 1 số lẻ,2 số chẵn.thì t lẻ

k giảm tổng quát,giả sử a,b chẵn,c,d lẻ.

ta có $a^{2p}+b^{2p}$=$d^{2p}-c^{2p}$=($d^{2}-c^{2}$)($d^{2p-2}+...+c^{2p-2}$)

đặt M=$d^{2p-2}+...+c^{2p-2}$

do c,d lẻ nên $M\equiv p \pmod4$

mà p có dạng 4k+3 nên M có dạng 4k+3

theo bổ đề 2,tồn tại q nguyên tố dạng 4k+3 mà q|M và  $v_q(M)$ lẻ

*nếu  d^2-c^2 k chia hết q

thì  $v_q(a^{2p}+b^{2p})$ =$v_q(d^{2}-c^{2})+v_q(M)$=$v_(M)$ lẻ

mà theo bd1 $v_q(a^{2p}+b^{2p})$ chẵn nên vô lý.

*nếu q|d^2-c^2 thì $d^{2}\equiv c^{2} \pmod q$

nên $M\equiv pd^{2p-2} \pmod q$

nếu q|d  thì q|c nên q|$a^{2p}+b^{2p}$ thì theo bd1,q|a,b nên (a,b,c,d)>1 nên mt

nếu d k chia hết q thì q|p hay p=q.nên $a^{2p}+b^{2p}$ chia hết p nên theo bd1,q|a,b nên p^2 |abcd

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iamnhl: 18-06-2014 - 20:00

[tretho97]

đặt $ M=d^{2p−2}+...+c^{2p−2}$

do $c;d$ lẻ nên $M \equiv p(mod 4)$

nếu $q|d^{2}-c^{2}$ thì $d^{2} \equiv c^{2} (mod4)$ nên $M\equiv pd^{2}(mod 4)$

nếu d không chia hết cho q thì$q|p$

bạn giải thích giúp mình mấy chỗ này với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tretho97: 18-06-2014 - 18:11

[iamnhl]

đặt $ M=d^{2p−2}+...+c^{2p−2}$

do $c;d$ lẻ nên $M \equiv p(mod 4)$

nếu $q|d^{2}-c^{2}$ thì $d^{2} \equiv c^{2} (mod4)$ nên $M\equiv pd^{2}(mod 4)$

nếu d không chia hết cho q thì$q|p$

bạn giải thích giúp mình mấy chỗ này với

mik gõ nhầm chút.sr nha mik sửa lại rồi nha

còn do c,d lẻ nên c^2,d^2 đều đồng dư vs 1 mod 4 nên M đồng dư vs p mod 4 (do có p số hạng trong m mà)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iamnhl: 18-06-2014 - 20:02