Chủ đề này có 3 trả lời

[iamnhl]

Cho a,b là số nguyên dương;a,b>1 thoả mãn $a^{n}-1\mid b^{n}-1$ mọi n nguyên dương

Chứng minh: b là luỹ thừa của a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 21-06-2014 - 19:54

[iamnhl]

spam : dùng cả dãy số và số học

[iamnhl]

Bổ đề 1 : giả sử x>0 x thuộc  và tồn tại dãy {$a_{n}$} nguyên và hằng số c khác 0 thoả mãn lim(c$x^{n}$-$a_{n}$)=0 thì x nguyên

  

   đặt x=$\frac{p}{q}$ vs p,q>0 nguyên,(p,q)=1 thì $x^{n+1}$=$x^{n}$.$\frac{p}{q}$

nên p.$x^{n}$=q.$x^{n+1}$

   Ta có lim(c.$x^{n}$-$a_{n}$)=0 nên lim(c.p.$x^{n}$-p$a_{n}$)=0

          lim(c.$x^{n+1}$-$a_{n+1}$)=0 nên lim(cq$x^{n+1}$-q$a_{n+1}$)=0

do p$x^{n}$ = q$x^{n+1}$ nên lim(p$a_{n}$-q$a_{n+1}$)=0

do p$a_{n}$-q$a_{n+1}$ thuộc Z nên tồn tại k sao cho mọi n>k ta có p$a_{n}$=q$a_{n+1}$

nên $a_{n}$=$\frac{p}{q}$.$a_{n+1}$=....=$($$\frac{p}{q}$$)^{m}$.$a_{n+m}$

nên $p^{m}$.$a_{n}$=$q^{m}$.$a^{n+m}$ nên $q^{m}$ | $a_{n}$ mọi m thuộc Z

ta có ($a_{n}$) khác 0 với n đủ lớn x>o nên q=1 hay x nguyên 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iamnhl: 27-06-2014 - 13:39

[vutuanhien]

Cho a,b là số nguyên dương;a,b>1 thoả mãn $a^{n}-1\mid b^{n}-1$ mọi n nguyên dương

Chứng minh: b là luỹ thừa của a

Để e thử bài này xem sao

Đặt $x_{n}^{(1)}=\frac{b^{n}-1}{a^{n}-1}$ thì $x_{n}^{(1)} \approx (\frac{b}{a})^n$

Lại đặt $x_{n}^{(2)}=bx_{n}^{(1)}-ax_{n+1}^{(1)}$ thì 

$$x_{n}^{(2)}=\frac{b^{n+1}(a-1)-a^{n+1}(b-1)+a-b}{(a^n-1)(a^{n+1}-1)}$$

Với $n$ đủ lớn, các số trong dãy sẽ có dạng $(\frac{b}{a^2})^n$. Làm tương tự như vậy cho đến khi thu được dãy mới có dạng $(\frac{b}{a^{k+1}})^n$, với $k$ là số thỏa mãn $a^{k}\leq b< a^{k+1}$ 

Khi đó dãy số này sẽ dần sát với $0$. Ta sẽ chứng minh $\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}^{(k+1)}=0$

với $x_{n}^{(k+1)}=bx_{n}^{(k)}-a^{i}.x_{n+1}^{(k)}$

Dễ thấy số $x_{n}^{(k)}$ sẽ có dạng

$$\frac{d_k.b^n+d_{k-1}a^{(k-1)n}+...+d_{0}}{(a^{n+k-1}-1)...(a^n-1)}$$

Do $a^k\leq b< a^{k+1}$ nên $\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}^{(k+1)}=0$

Giờ gọi $p$ là chỉ số nhỏ nhất mà $\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}^{(p+1)}=0$

Ta có $x_{n}^{(p+1)}=bx_{n}^{(p)}-a^p.x_{n+1}^{(p)}$ nên với $n$ đủ lớn:

$$bx_n^{(p)}=a^px_{n+1}^{(p)}$$

$\Rightarrow x_{n+m}^{(p)}=(\frac{b}{a^{p+1}})^m.x_{n}^{(p)}$

Do $x_{n}^{(p)}\neq 0$ nên từ đây suy ra $(\frac{b}{a^{p+1}})^m\in \mathbb{Z}$ $\forall m\in \mathbb{N}$

Từ đó có $a|b$

Đặt $b=aq$ thì $a^n-1|q^n-1$ và cứ làm tương tự như thế suy ra $b$ là lũy thừa của $a$

Còn 1 cách xét dãy đa thức nhưng em mỏi tay quá @@