CMR: $\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nc}\geq \frac{3}{m+n}$ với a; b; c; m; n dương
CMR: $\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nc}\geq \frac{3}{m+n}$
#1
Đã gửi 20-06-2014 - 22:31
37
#2
Đã gửi 20-06-2014 - 23:04
CMR: $\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nc}\geq \frac{3}{m+n}$ với a; b; c; m; n dương
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nb}=\frac{a^2}{mab+nac}+\frac{b^2}{mbc+nab}+\frac{c^2}{mca+nbc}\geq \frac{(a+b+c)^2)}{(m+n)(ab+bc+ca)}$
$\Rightarrow \frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nb}\ge\frac{(a+b+c)^2)}{(m+n)(ab+bc+ca)}~~~~(*)$
Mặt khác: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}~~~~(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta suy điều phải chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$ và $m=n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 20-06-2014 - 23:05
- anhuyen2000 và SuperReshiram thích
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh