Chủ đề này có 4 trả lời

[NMDuc98]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+2(ab+bc+ca)\geq 3(a^2+b^2+c^2)$.

 

P/S: Cuộc chiến đã kết thúc!

[Kir]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+2(ab+bc+ca)\geq 3(a^2+b^2+c^2)$.

 

P/S: Cuộc chiến đã kết thúc!

 Kiểm tra lại đề xem sao đi bạn. Mình thử 1,2,3 thấy không đúng

[NMDuc98]

 Kiểm tra lại đề xem sao đi bạn. Mình thử 1,2,3 thấy không đúng

Đúng mà bạn!Nếu lấy 1,2,3 thì $VT=52,1....$ còn $VP=42$.

[NDP]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+2(ab+bc+ca)\geq 3(a^2+b^2+c^2)$.

 

P/S: Cuộc chiến đã kết thúc!

Lời giải

Ta có

+)$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$

+)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}-ab+bc+ca=\frac{(a-b)^{2}(a+b)}{b}+\frac{(b-c)^{2}(b+c)}{c}+\frac{(c-a)^{2}(c+a)}{a}$

Nên ta sẽ phải chứng minh $S_{a}(b-c)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}+S_{b}(a-c)^{2}\geq 0$

Trong đó $\begin{cases} & \text{ } S_{a}=\frac{2b-c}{c} \\ & \text{ } S_{b}=\frac{2c-a}{a} \\ & \text{ } S_{c}=\frac{2a-b}{b} \end{cases}$

*)Trường hợp (1) $a\geq b\geq c$ ta có $S_{a},S_{c}>0$ nếu $S_{b}> 0$ thì bđt luôn đúng xét $S_{b}< 0$

Ta có thể kiểm tra được một cách dễ dàng $S_{b}+2S_{a},S_{b}+2S_{c}>0$

Lại có do $S_{b}< 0$  và $(a-c)^{2}=(a-b+b-c)^{2}\leq \frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}}{2}$

Do đó $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(a-c)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq (b-c)^{2}(\frac{2S_{a}+S_{b}}{2})+(a-b)^{2}(\frac{2S_{c}+S_{b}}{2})\geq 0$

*)Trường hơp (2) $a\leq b\leq c$ ta có thể thấy ngay $S_{b},S_{b}+S_{c},S_{b}+S_{a}>0$

Lại có do $S_{b}> 0$ và $(a-c)^{2}=(a-b+b-c)^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}$

Do đó $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(a-c)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq (b-c)^{2}(S_{a}+S_{b})+(a-b)^{2}(S_{c}+S_{b})\geq 0$

Kết thúc chứng minh dấu bằng xẩy ra khi a=b=c

[NMDuc98]

Lời giải

Ta có

+)$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$

+)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}-ab+bc+ca=\frac{(a-b)^{2}(a+b)}{b}+\frac{(b-c)^{2}(b+c)}{c}+\frac{(c-a)^{2}(c+a)}{a}$

Nên ta sẽ phải chứng minh $S_{a}(b-c)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}+S_{b}(a-c)^{2}\geq 0$

Trong đó $\begin{cases} & \text{ } S_{a}=\frac{2b-c}{c} \\ & \text{ } S_{b}=\frac{2c-a}{a} \\ & \text{ } S_{c}=\frac{2a-b}{b} \end{cases}$

*)Trường hợp (1) $a\geq b\geq c$ ta có $S_{a},S_{c}>0$ nếu $S_{b}> 0$ thì bđt luôn đúng xét $S_{b}< 0$

Ta có thể kiểm tra được một cách dễ dàng $S_{b}+2S_{a},S_{b}+2S_{c}>0$

Lại có do $S_{b}< 0$  và $(a-c)^{2}=(a-b+b-c)^{2}\leq \frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}}{2}$

Do đó $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(a-c)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq (b-c)^{2}(\frac{2S_{a}+S_{b}}{2})+(a-b)^{2}(\frac{2S_{c}+S_{b}}{2})\geq 0$

*)Trường hơp (2) $a\leq b\leq c$ ta có thể thấy ngay $S_{b},S_{b}+S_{c},S_{b}+S_{a}>0$

Lại có do $S_{b}> 0$ và $(a-c)^{2}=(a-b+b-c)^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}$

Do đó $S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(a-c)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq (b-c)^{2}(S_{a}+S_{b})+(a-b)^{2}(S_{c}+S_{b})\geq 0$

Kết thúc chứng minh dấu bằng xẩy ra khi a=b=c

Đây cũng là một lời giải hay!Cảm ơn bạn!