Chủ đề này có 2 trả lời

[midory]

1, cho 2 số duơng x, y TMĐK x + y =2

CM: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

2, cho x, y $\geq 0$ ; $x^{2}+y^{2}=1$. CMR :

$\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

[NMDuc98]

1, cho 2 số duơng x, y TMĐK x + y =2

CM: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

 

Áp dụng BĐT AM-GM ( $ab \le \frac{(a+b)^2}{4}$ ) ta có:

$x^2y^2(x^2+y^2)\\=\frac{1}{2}.2xy.(x^2+y^2)xy\\\leq \frac{1}{2}.\frac{(2xy+x^2+y^2)^2}{4}.\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{2}.\frac{(x+y)^4}{4}.\frac{(x+y)^2}{4}=2$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 21-06-2014 - 10:58

[Phuong Thu Quoc]

 

2, cho x, y $\geq 0$ ; $x^{2}+y^{2}=1$. CMR :

$\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

* Theo AM-GM ta có

      $x^{3}+x^{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\geq 3.\sqrt[3]{x^{3}.x^{3}.\frac{1}{2\sqrt{2}}}=\frac{3x^{2}}{\sqrt{2}}$

      $y^{3}+y^{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\geq \frac{3y^{2}}{\sqrt{2}}$

Cộng vào $2\left ( x^{3}+y^{3} \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}\left ( x^{2}+y^{2} \right )=\frac{3}{\sqrt{2}}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

* Từ $x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow x,y\leq 1$

Do đó $x^{3}\leq x^{2};y^{3}\leq y^{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=0;y=1$ hoặc $x=1;y=0$