cho a,b,c>0 và a+b+c=abc.CM: $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq 3$
$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq 3$
#1
Posted 21-06-2014 - 20:54
#2
Posted 21-06-2014 - 21:10
cho a,b,c>0 và a+b+c=abc.CM: $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq 3$
Có vấn đề
Edited by lahantaithe99, 21-06-2014 - 21:10.
- hoangson2598 likes this
#3
Posted 21-06-2014 - 21:18
#4
Posted 21-06-2014 - 21:26
cho a,b,c>0 và a+b+c=3abc.CM: $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq 3$
Ta có
$Gt\Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=3$ nên đặt $(\frac{1}{a},...)=(x,y,z)\Rightarrow xy+yz+xz=3$
Khi đó
$\sum \frac{1}{a^3}=x^3+y^3+z^3$
Áp dụng BĐT Bunhia:
$x^3+y^3+z^3\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{9}\geqslant \frac{(\sqrt{3(xy+yz+xz})^3}{9}=3$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
- tuananh2000 and hoangtpf4 like this
#5
Posted 21-06-2014 - 21:28
Theo BĐT AM-GM:
$VT=\sum (\frac{1}{a^{3}}+2)-6\geq 3\sum \frac{1}{a}-6\geq 3\sqrt{3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}) }-6=3$
Edited by Runaway2712, 21-06-2014 - 21:58.
#6
Posted 21-06-2014 - 21:39
Ta có
$Gt\Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=3$ nên đặt $(\frac{1}{a},...)=(x,y,z)\Rightarrow xy+yz+xz=3$
Khi đó
$\sum \frac{1}{a^3}=x^3+y^3+z^3$
Áp dụng BĐT Bunhia:
$x^3+y^3+z^3\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{9}\geqslant \frac{(\sqrt{3(xy+yz+xz})^3}{9}=3$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Ta có
$Gt\Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=3$ nên đặt $(\frac{1}{a},...)=(x,y,z)\Rightarrow xy+yz+xz=3$
Khi đó
$\sum \frac{1}{a^3}=x^3+y^3+z^3$
Áp dụng BĐT Bunhia:
$x^3+y^3+z^3\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{9}\geqslant \frac{(\sqrt{3(xy+yz+xz})^3}{9}=3$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Dấu = thứ nhất thì mk hiểu rồi nhưng thứ 2 và t3 mk chưa hiểu
- lahantaithe99 likes this
#7
Posted 21-06-2014 - 21:48
Dấu = thứ nhất thì mk hiểu rồi nhưng thứ 2 và t3 mk chưa hiểu
Dấu $=$ thứ $2$
Do ta có $x^2+y^2+z^2\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{9}$
Dấu $=$ thứ $3$
Do $(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+xz)\Rightarrow x+y+z\geqslant \sqrt{3(xy+yz+xz)}$
Edited by lahantaithe99, 21-06-2014 - 21:48.
- hoangtpf4 likes this
#8
Posted 21-06-2014 - 23:15
cho a,b,c>0 và a+b+c=abc.CM: $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq 3$
Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z$
Có: $VT=x^{3}+y^{3}+z^{3}=\frac{x^{4}}{x}+\frac{y^{4}}{y}+\frac{z^{4}}{z}\geqslant\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x+y+z}\geqslant\frac{(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})^{3}}{\sqrt{3}}\geqslant\frac{(\sqrt{xy+yz+zx})^{3}}{\sqrt{3}}=3$
- hoangtpf4 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users