1 reply to this topic

[Binh Le]

Cho tam giác $ABC$ đều và $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác

Từ $M$ hạ các đường vuông góc $MA_{1};MB_{1};MC_{1}$ xuống $BC,AC,AB$

Tìm GTNN của $P=\frac{MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}}{(MA_{1}+MB_{1}+MC_{1})^{2}}$

 

[Melodyy]

Cho tam giác $ABC$ đều và $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác

Từ $M$ hạ các đường vuông góc $MA_{1};MB_{1};MC_{1}$ xuống $BC,AC,AB$

Tìm GTNN của $P=\frac{MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}}{(MA_{1}+MB_{1}+MC_{1})^{2}}$

Gọi cạnh tam giác là $a$ thì

$MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}=AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}a$

Lại có $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}\geq \frac{(MA+MB+MC)^{2}}{3}$

Nhớ lại về điểm Torricelly trong tam giác thì $MA+MB+MC$ đạt GTNN khi $M$ nhìn các cạnh dưới cùng một góc $120$ độ

nên dễ dàng đưa các yếu tố về cùng đơn vị với độ dài cạnh

Từ đó giải quyết đc bài toán