Chủ đề này có 3 trả lời

[Binh Le]

Cho $a,b,c\in R$ thoả mãn $a+b+c=1$

Cmr $15(a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab+bc+ca)+9abc\geq 7$

[megamewtwo]

Cho $a,b,c\in R$ thoả mãn $a+b+c=1$

Cmr $15(a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab+bc+ca)+9abc\geq 7$

Ta có : dạng khác của BDT schur : $\left ( a+b+c \right )^{3}+9abc\geq 4\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ac \right )\Rightarrow 9abc\geq 4\left ( ab+bc+ac \right )-1$

ĐPCM $\Leftrightarrow 15\sum a^{3}+19\sum ab\left ( a+b+c \right )\geq 8 \Leftrightarrow 15\sum a^{3}+19\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )+57abc+7\geq 15\left ( a+b+c \right )^{3}$

$\Leftrightarrow 7\geq 26\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )+33abc\Leftrightarrow 7\left ( a+b+c \right )^{3}\geq 26\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )+33abc\Leftrightarrow 7\sum a^{3}+9abc\geq 5\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )$

mà : $3\sum a^{3}+9abc\geq 3\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )$                  (1)

$4\sum a^{3}\geq 2\left ( \sum a^{2}b+ab^{2} \right )$                                       (2)

cộng lại ta có ĐPCM  

[lahantaithe99]

Ta có : dạng khác của BDT schur : $\left ( a+b+c \right )^{3}+9abc\geq 4\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ac \right )\Rightarrow 9abc\geq 4\left ( ab+bc+ac \right )-1$

ĐPCM $\Leftrightarrow 15\sum a^{3}+19\sum ab\left ( a+b+c \right )\geq 8 \Leftrightarrow 15\sum a^{3}+19\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )+57abc+7\geq 15\left ( a+b+c \right )^{3}$

$\Leftrightarrow 7\geq 26\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )+33abc\Leftrightarrow 7\left ( a+b+c \right )^{3}\geq 26\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )+33abc\Leftrightarrow 7\sum a^{3}+9abc\geq 5\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )$

mà : $3\sum a^{3}+9abc\geq 3\left ( \sum a^{2}b+\sum ab^{2} \right )$                  (1)

$4\sum a^{3}\geq 2\left ( \sum a^{2}b+ab^{2} \right )$                                       (2)

cộng lại ta có ĐPCM  

Ơ BĐT S. Chur đúng cho tập số thực ạ?

-------------

 

Không biết đúng hay không nhưng em xin nêu chút ý tưởng của mình cho bài này (chưa xong  )

 

Ta có $VT=15(a^3+b^3+c^3-3abc+ab+bc+ac)+54abc$

 

$=15\left [ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+ab+bc+ac \right ]+54abc$

 

$\Rightarrow Vt=15(a^2+b^2+c^2)+54abc$

 

Đến đây thì em tịt    nếu $a,b,c>0$ thì khỏi nói, nhưng không biết xử lí ntn với đk tập $R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-06-2014 - 22:25

[megamewtwo]

Ơ BĐT S. Chur đúng cho tập số thực ạ?

thôi làm nhầm rồi     

không sử dụng thành thạo schur lắm nên không để ý nó thuộc R