Chủ đề này có 2 trả lời

[megamewtwo]

cho a;b;c dương sao cho abc=1

CMR: $\sum \sqrt{\frac{c}{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )}}\leq \frac{3}{2}$

[Hoang Tung 126]

cho a;b;c dương sao cho abc=1

CMR: $\sum \sqrt{\frac{c}{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )}}\leq \frac{3}{2}$

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}= > \sum \sqrt{\frac{c}{(a^2+bc)(b^2+ac)}}=\sum \sqrt{\frac{\frac{z}{x}}{(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y}{z}.\frac{z}{x})(\frac{y^2}{z^2}+\frac{x}{y}.\frac{z}{x})}}=\sum \sqrt{\frac{\frac{z}{x}}{(\frac{x^3+y^3}{xy^2})(\frac{y^3+z^3}{z^2y})}}=\sum \sqrt{\frac{\frac{z}{x}}{\frac{(x^3+y^3)(y^3+z^3)}{xy^3z^2}}}=\sum \sqrt{\frac{y^3z^3}{(x^3+y^3)(y^3+z^3)}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{y^3}{x^3+y^3}+\frac{1}{2}\sum \frac{x^3}{x^3+y^3}=\frac{3}{2}$

[megamewtwo]

c2) thực chất không khác lắm 

Ta có $\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )-ab\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )= c\left ( a+b \right )\left ( a-b \right )^{2}\geq 0\Rightarrow \left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\geq ab\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{c}{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )}}\leq \sum \frac{c\sqrt{ab}}{\sqrt{ab\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}}= \sum \frac{c}{\sqrt{\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}}\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{c}{a+c}+\sum \frac{c}{b+c} \right )= \frac{3}{2}$

P/s : đây là cách làm cũng như ý tưởng bài này của mình