Chủ đề này có 2 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0. CMR $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{3}(a+b+c)\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$

[megamewtwo]

Ta có : $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq \frac{8}{9}\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )\Leftrightarrow \sum a^{2}b+\sum ab^{2}\geq 6abc$ ( luôn đúng)

$\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq \frac{8}{9}\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ac \right )\geq \frac{8}{3}\left ( a+b+c \right )\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$

[1110004]

Ta chuẩn hóa rằng $abc=1$

 

Ta có $(a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ vì vậy BĐT cần chứng minh được viết lại là $(a+b+c) \left [3(ab+bc+ca)-8   \right ] \geq 3$

 

Mà $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{\left (abc  \right )^2}=3$   và $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ thay vào ta được đpcm

 

(Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 24-06-2014 - 08:50