Chủ đề này có 6 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho x, y > 0 và $x^{2}+y^{2}=2$. Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{x}}$

[Hoang Tung 126]

Cho x, y > 0 và $x^{2}+y^{2}=2$. Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{x}}$

Có $P=\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{\sqrt{(x^2+y^2)(x^2y+y^2x)}}=\frac{4}{\sqrt{2xy(x+y)}}\geq \frac{4}{\sqrt{(x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}}}=\frac{4}{\sqrt{2.\sqrt{2.2}}}=2$

[shinichikudo201]

Có $P=\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{\sqrt{(x^2+y^2)(x^2y+y^2x)}}=\frac{4}{\sqrt{2xy(x+y)}}\geq \frac{4}{\sqrt{(x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}}}=\frac{4}{\sqrt{2.\sqrt{2.2}}}=2$

[anh1999]

Cho x, y > 0 và $x^{2}+y^{2}=2$. Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{x}}$

c2: ta có 2P=$(x^{2}+y^{2})(\frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{x}})\geq (\frac{x^{4}}{\sqrt{y}}+\frac{y^{4}}{\sqrt{x}})^{2}$

$\geq \frac{((x^{2}+y^{2})^{2})^{2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}=\frac{2^{4}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}$(2)

mặt khác ta có $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$

<=> $x+y\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=2$(vì x;y>0)

=> 4$\geq$2(x+y) $\geq(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}$

từ (1) và (2) ta có 2P$\geq \frac{2^4}{4}=4$<=> P$\geq 2$

dấu = xảy ra <=> x=y=1

p/s đây là câu 5 đề toán vào lớp 10 ở hà tĩnh phải ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 03-07-2014 - 09:49

[toanc2tb]

c2: ta có ${\color{Red} 2P=(x^{2}+y^{2})(\frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{x}})\geq \frac{x^{4}}{\sqrt{y}}+\frac{y^{4}}{\sqrt{x}}} \geq \frac{((x^{2}+y^{2})^{2})^{2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}=\frac{2^{4}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}(2)$

mặt khác ta có $2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}$

<=> $x+y\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=2$(vì x;y>0)

=> 4$\geq$2(x+y) $\geq(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}$

từ (1) và (2) ta có 2P$\geq \frac{2^4}{4}=4$<=> P$\geq 2$

dấu = xảy ra <=> x=y=1

p/s đây là câu 5 đề toán vào lớp 10 ở hà tĩnh phải ko?

 

Hình như có gì đó (có nhầm không nhỉ?)

[toanc2tb]

$2P= \frac{x^4}{\sqrt{y}}+\frac{y^4}{\sqrt{x}}+x^2y^2(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})\geq \frac{x^4}{\sqrt{y}}+\frac{y^4}{\sqrt{x}}+2x^2y^2\geq \frac{((x^2+y^2)^2)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2}$

Đến đây chứng minh bình thường như tác giả       .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanc2tb: 27-06-2014 - 21:02

[anh1999]

Hình như có gì đó (có nhầm không nhỉ?)

hehe đi thi về viết vội quá quên bình phương